Přepis řeči - Signály a systémy - přednáška 3.

tak prosím podm n a to

vítejte na další přednášce sem rád že stále přicházíte s tagle ho jiných počtech který

war ne

dnes bude na mít na programu dokončeni numerického cvičení z minula

potom takové z zažehnutí do komplexních čísel

vy ste samozřejmě komplexní čísla měl yale bude znakového páčko

a potom e se pokusim uděla začátek první frekvenční transformaci

transformace

kteru tajle to sou vidíme to bude fourierova řada

a zdá se to tam bell takovými dvěma způsoby buď lamp rost jako plácnu vzorečky

ja řeknu takhle to je

ale chám a s tom plavat

a l od zhruba před loňská se mi ji v i osvědčilo udělat od rožku

důkladněji to znamená ve vysvětlit vám

proč vlastně

k to je fourierově řadě jak nějakým koeficientík ú

dojde takže na track o nezdáte vzorec takže to je udělam a idnes

připravte se na to lže před a budeme povídat o takových hejsek jako nějaké projekce

nějaké podobnosti

f a možná si občerství tep pojem skalární součin

a jen pod ne pod na první věc a to je dokončení numerického cvičení jestli

se ta dobře pamatuju

a mám to napsa nedobře na wiki ně takt e sme dělali periodický signál minule

a de jeli jsme zášť do konce že takže celková energie periodického signálu

todle doufám proběhlo

pod nad nesl odtrhl příkladu štyři

dá obrázku je harmonický signál o se spojitým časem

je to kosinusovka tak o ušlá s plan o vy po prosím o klid

klidně si pově tekly ně se bavte ale běžte ve no nebu do s to

štyri memo s top je to sou zvací posluchárny

toto je

posluchárna k de zvu jenom já a případně vych se mně inteligentně pak tá t

ale nebavit e se e kuji

r s takže máme kousek o sinusovky

a máme za úkolů určit její parametry a zapsat signál rovnicí

pak jak k tady stojí psáno

a pak máme druhý úkol kdy je existuje nějaký alternativní způsob zápisu kde není počáteční

fáze

ale tam vlastí počáteční časové posunutí nějaké ta u jedna takže máme určit i to

plak mysim si že

a tomu úkole

není zas

ni stavy k složitého

oj ne do něj

no to že prosím opakuji

hi máme terry tenle signálek napsat

pomocí rovnice

s t si rovná c jedna

kosinus omega jedna to je plus fí jedna

a v jenom ně prosím vás křičte co znamená to c jednak se to menuje

amplituda super čem to je

jednotka

brambory klidně nebo žádna

co kolik té ho ball ty

do láry brambory cokoliv si vymyslíte omega jedna je co

kruhová nebo uhlová rychlost nebo frekvence l může busy vyzkoušet všechny štyři kombinace těch tvou

slovíček všem je

radiány za sekundový borně fí jedna je co

počáteční fáze nebo jenom fáze i f čem

radiánech co že r je funkce kosinus

radiány děkuju

ták vodíme tady tyto hodnoty odečíst našeho obrázku c jedna amplituda v u je kolik

jedny

tří sta jedenáct ta jednoduchý žel

tetě kruhová neboli úhlová frekvence u mi dá jedna

jak ve půjdu na tu

přesilu nedobrý se podívané k je perioda že de toho našeho hosín u

a tetin budě ho znáte nazpaměť anebo si odvodíte vzoreček proto

kolik ta kruhová v rychlost nebo uhlová rychlost í nebo okrová frekvence má být je

to dvě pí lomeno základní perioda

ale prosím vás tvý kdybyste za rito to zapomněli

tak si musíte uvědomit že argument v f unce kosinus

musí udělat hodnotu dvě pí jí

za jednu periodu

ve ho a pokud prostě e tam e vynásobí té hodnotou dvaceti měli se kult

a chcete aby za tuto dobu to udělal u jedno jednu periodu tak sela logicky

ta hodnota omega jedna musí být dvě pí děleno dvaceti milisekunda má aby se vám

tych dvacet milisekund navzájem vykrátí lo jo takže není protřela si toto o matovat dokážete

to z dostat z obrázku

dobrý track že bude to a sid dvě pí

lomeno dvacetkrát deset na minus třetí

a tech do z vás i prosím vás rychlejší počtář nešel a

ty dvojky by set na mohli vykrátit že ho tady byst know mohla byt enom

desítka

takže do v u je pí děleno deset na minus třetí

to je k kolik

dory káže rychle převádět zlomky

g učí set of prvním ročníku v šestiletého gymnázia

to vím naprosto přesně

no synátor do že dávno žel

tisíc p ten o

je to tisíc p jí a když sem línej tak je to jedno kilo p

čeho a

já h a

to máte pravdu takže kolik to terra je

sto p no eště že vás to ji mám děkuju ale jsem vám příklad za

je tyto chyby some zřejmě

dělám schválně

a vy vás pro zkoušel zdi čeho s

stopý čeho

je to pro vás frekvence takže

radiánu za sekundu

tak je tam nula clil i v je to jenom besed deka pít l v

nulovat se

ták fí jedna počáteční fáze jak půjdeme na ni

toho je

možná trošku problém že

takže bych o mohli i si třeba vyjádřit se jaká je hodnota toho signálů čase

nula

a za čas nula

dosadit

se muka

hodnotu nula a tím pádem dostaneme že dvě stě šedesát rovná se tři sta jedenáct

krát kosinus

aule tam jenom ta počáteční fáze fí jedna

pilo právy sem napsal rovnici pro hodnotu signálu včas add nula

no a pak můžeme napsat že dvě stě šedesát

rovným z lomeno při sta jedenáct

rovná se kosinus fí jedna a vy mě tech prosím povězte jak s toho mám

dostat hodnotu počáteční fáze fí jedna

na kalkul esteře o po v a jakou mám použit funkci

arkus kosinus ne mol kosinus i invertovaný ná neví mech se toto ji na té

vendou sát s ke menu j

dobře

takže fí jedna bude arcs l

sólo s

dvě stě šedesát lomeno tři sta jedenáct

sjeď prosím vás o pozor napě kalkulačce

je potřeba mi zapnutý radiány

s tak ja to zkusim měl

v je strž vše desá hat

děleno

tři sta jedenáct

rovnal se

o to se dělaj a

pak hle a h

tak se z děláte je tohle

jeho

invertovány

ktery je to správný

normální že ho nech si hyperbolicky

tak ho dostal jsem nula celá padesát osum radiánu

tím kdy rovná se

nula celá a padesát osum radián

na ta

dobře tak s zdal poslednímu kolem tohoto

to áčka je zapsat s tu

ten signál o rovnicí takže hess té bude při sta jedenást

krátko sínus

sto pí

flus

v nula celá padesát osum

radián

je to dobře

správně do

právně správně pro švy ta mělo by v mínus

protože ten signál oproti normální kosinusovce je shift lee

doprava to rys už me vině zpožděný že

a posun on nula celá padesát osum plus vydělal předběhnu ti a jak i možný

že z o tagle že mi to takhle vyšlo blbě

dobře prio dát dvě pí a l co je potřeba si uvědomit je že po

sínus je funkce sud a

znamená že když jsem tady no stal nějakou hodnotu

tak můžu

do kosinu vrazit buď kladný úhel

a nemu záporný úhel

a ta funci kosinus měch každým případě

dál a tu stejnou hodnotu

ja o to znamená

já bych sil toho a kus kosí no v

vlastně měl napsat že je tu buď k plus

a nebo mínus

a to správný znaménko

molu s a ne ho mínus o určit podle toho kam je ten signál

od i jetý jo takže pozor prosím vás na a kus kosinus fi dávejte v

velikého majzla

jeho výstup se může brat v buď s kladnýma nebo se záporným znaménkem

to správné z naming o zjistíte takže se podíváte na signál takže opravuji prosím

rady je jedno

velké mínus abych touž to bude fungovat

ták atika vy mě ještě zajímalo jestli těch mínus nula celá padesát osum radiánu je

rozumná hodnot nebo je to ve nějak u plného u z numer

chtěl bych abychom se tady naučili

již dostanem nějaký výsledek pak si zkusit

sed lásky í výpočet

jestli je to jestli je to možný nebo ne

no bíte že když sedlák prostě ví že obvykle

vy si tvé na po l v je v léčky osiva a titel ú vo

moci nějakého vzor se vyšlo žitě k vleče k má být šesnáctset

tak asi jako

začne stem výpočet podezírat a k že já bych chtěl

udělat sed látky je zkontrolování toho jestli ninu s nula celá padesát osum

dává smysl nemo ne

když

vy bychom si celou periodu u toho jednou kosí know

převedli

na uhel

kolik by tady temna to

odpovídalo jak úlu

vjem a p jasně prohle zhruba v odpovídá dvěma pí

kolik je dvě pí v normálních číslech

asi šest a o tři celé čtrnáct krát dvě

co š asi šest

a já jsem se právy dozvěděl že tady tento posun fůru l

ú mínus nula celá padesát osum

znamená že

tahleta velká čára je

vše s

tam h je nula celá padesát osum

tím pádem e abych tu malou čárečku měl do té velké na vkládat tak zhruba

desetkrát

jo a ne tvrdim že je tady do to super přesný obrázek

raz dva tři štyři pět šest sedum osum devět na vidite že to vychází jo

jak že

toho ti letět ne ale já si bychom poznali kdyby to bolo jako o tří

řády jinam jo ta dip

vidíme že to zhruba s sme něj ne v rozumných mezích

takže takle doporučil u si věci kontrolovat samozřejmě pokud ode

fájn e

oni ne se podívat na

druhý

alternativní způsob zápisů je pomoci počátečního časového posunutí

jeho u s tam není počáteční fáze ale je tam vlastně jakési ta u jedna

normální čas vo který je ta kosinusovka šiftu u ta

jak to ta u jedna spočítám

zkusme s koz ne si říct

jak se to bude srovnávat s note úvodní rovnicí hod a původní rovnice by lace

jedna kosinus

omega jedna t plus fí jednal

a tady vidim tento zápis

kterých vlastně je chce jedná kosínů s

a tečka když ta roznásobím tak omega jedna r plus omega jedna

null ú v jedna jo takže je naprosto jasny žeber i tyhle dvě věci

musí byt naprosto stejné

a tím pádem

ti muž o napsat o že fí jedna se rovná

amiga jedna ta u jedna

a tedy ta u jedna se rovna

fí jedna

mame no

omega jedna doufam že sem do ujal dobr že to v ní žádna bota

well takže s do poďme spočítat ta u jedna ktery bude ne mínus nula celá

padesát osum

radiánu

děleno

to p

což se rovna tyč

s použil to je to super kalkulačku

děleno

to je po kde

děleno

jí

vidite tam někde p

tady to je t tech

rovná s

nula cela

nula jedna osum neboli jedna celá osum milisekund

jedna cela osum moss l

tak a vy k a prosím vás zase

intuitivní kontrola

je možný aby

to zpoždění padl nechtě tam dám správný znam inko takže mínus jedna celá osum os

je možný aby je ten ne posun kosinusovky doprava bylo o jedna celá osum milisekundy

v bych rejže když k v je celá perioda dvacet milisekund a k to jedna

celá osum

e přijatelný

fájn takže máme po sinusovkou vím

příklad vyřešen

ja vo dým n a další

nakreslete signál

pět kosinus

štyři p t plus i jedna

v že tohle lom nakreslit

o tak dobry k

plně ne začátku já si dobrý jsi nakreslit základní kosinusovku

třeba jednu nebo dvě periody

ve z jakýkoli v značek

a teď k tou mu začit přát jednotlive parametry k takže amplitudu napišu sem vesel

k těm jedno dosti jel

i kdybych měl to je kosinusovce do psa tady tento čas

protože tohle je časová osa tohle signál nova os s t

ta kolik tam a napsat

tohle je vlastně

její perioda to je jedna

a u sme to jiných de ve měli to je jedna by měla být dvě

pí lomeno

základní kruhová frekvence

a že dvě pí

lomeno štyri p

takže nula celá pět jo takže ta kosinusovka mall periodu půl vteřiny

podle to ve nula celá fill s

null by k a co s tím plus i jedna

čem to je ta jednička vlast

v radiánech správně

a je v

když bych to měl

že bych to měl posunou na časové ose

tak jak ty radiány pře počítam na čas

samozřejmě bychom mohli pře použít n vzoreček terry z neměli před chvilkou to znamená

převod počáteční fáze je na časové posunutí no žel jsem nad z o neskutečně líný

já bych to dělalo ručně

nás i řeknu která bych to dělal přesně já si řeknu celá perioda

je zhruba šest

na lan předbíhat o jeden radián

takže budu předbíhat zhruba o jednu šestinu periody

celé kosinusovky a jednu šestinu

ti s tím takže pady je polovina

rys o štvrtiny sou štvrtiny

a ta šestina je eště vo kousek míň i

takže to je něco takového a mám to

no a ještě si tady byla takové přídavné časové značky protože tam budu

na budu procházet

a jedu a to ve u r maxim on

šup

eur e negativný minimum

o ho

o of

a tak dál a vidíme že máme kosinusovku jako vy šité hope to

jsi že bych za ni dostal první sennou soutěži kosinusovek

a odpovídá tady ve to rovnici no amplituda pět

kruhová frekvence štyři p radiánu do sekundu

počáteční předběhnutí

jeden

rady já

dál c příklad

máme

co si dočinění

s l

kosinusovkou s diskrétním časem

to pětkrát kosinus

p lomena šesti

krát m

a určit základní periodu

nakreslit ten ne diskrétní signál a dokonce s italy sám sobě tvrdí do si můžu

pomoci nějakou spojitou funkcí ho tak dobr i

takže nejprve základní perioda

na minulé přednášce z ne si říkali nemu o konce možná lúku plně na první

že s tou základní periodou

diskrétních kosinusovek

to nebude

tak uplně jednoduché je

že to nemůžu prostě vzít jako dvě pí lomeno kruhová frekvence

ale

že mám

k o v předpis který pravý že

kruhová frekvence krát ryor a

musí být

nějaký celočíselný násobek

od no ty dvou pít

a pokud a tohle platí tak najdu základní periodu a ten signál e je periodický

takže pod ne na to

ptá kruhová frekvence tady je pí lomeno šesti

takže si napišu pí lomeno šesti krát hledaná perioda rovná se

v je p krát k a

tedy

n jedna a štěstí se mi

od na ty p wiki louis í

a bude to dvanáctkrát k a

a mým

těžký mu úkolem je tečna jít takové k a aby n jedna bylo celé

a co nejmenší

mám šanci

a sem že jeho

o k srovná jedna to znamená periho nebude

vana last

n jedna rovná se

v a na

do takže tady to vyšlo v mám periodu diskrétně kosinusovky

a ty se pokusy mi nakreslit

tohle budou vzorky n

s n

a asi mě nezbyde jiného ne štít opravdu namalovat dvanáct vzorků takže nula jedna je

a h no

ještě si také tou pro jistotu označím každy třetí

plus tou čárou

ták

teď bych si zvolením uděl vekou pomocnou funkci to je to vlastně s osy tam

radím

že si můžu

o moci

a s ně spojitou kosinusovkou

a jakmile tuto pomocnou funkci budu mít

tak pod ní prostě kulometem na střílím

z horky

použití kulometu fí s do s prosím v budo do cena častého bull budeme ta

rich dost často malovat nějaké pomocné funkce

a pak po dně střílet z or ty kulometu kulometem

takže se matl

v jak ně tease zase o co jeho matil syna se dozvěděl vře nejlepši kovo

mete tak zvaný rota čára k

tahaj

můžete si na jitce ho

jeho

jeho obráz ti na internetu jich tam celá řada přit ně vide jít plied o

oblíbená jak u panská zábava víc i za síle ze do toč a

ták

signál

kosinus víš s p lomena šesti n ještě by měl doplnit

měl bych doplnit amplitudu

a pokud budeme chtít x i samozřejmě můžeme doplnit eště spoustu vzorku pravo i vlevo

co je prosím vás důležité je že jedna perioda toho signálu má opravdu jedenáct vzorků

a já vandry schválně ty vzorky o čísluju protože tu tak ještě

do s častou uvidíme

nultý rovni pruhy třetí čtvrtý pátý šestý sedmi osmi

devátý desátý jedenáctý

na nás

patří ten dvanáctý vzorek

eště do periody oko důru počítat hod nuly

nepatří žel prostě perioda

je kari tohle

kdo z vás umí programovat céčku

ta se to sem to sem vrát protože uvědom do si prosím vás pokus if

téčku nadefinujete pole který bude mi dvanáct prvků

tak můžete indexovat od nuly do jedenáctky a pokud na indexu je t dvanáctý

tak se stane něco velmi nepěkného rozhodně n to s o byste chtěli ho takže

signálech

se to bude chovat úplně stejně

když n rovná se

dva nás

tak moje vzorky k mé práce sou nultý ač jedenáctý a ve žádný i

ták

e v dobrý tak s hotovi s tímto příkladem

a mám poslední

je dán

harmonický signál z diskrétním časem do se nějaký jiných drop u

crossing ostří pí lomeno šestnácti n

ram určit jeho základní periodu

a góla nakreslit zase si prý mám u moci nějakou

jakou spojitou funkcí

takže poďme na to

půjdu na to uplně stejně omega jedna

k krát n i jedna

pře musí rovnat k krát vypí

pro vás frekvence je

při pí lomeno šestnácti

krát my jedna rovná ná k rádi p

a teďka

p naštěstí

vypadnou

takže n je a

rovná se

přice dva

k o

lomeno

pře my

ta o mu mým

úkolem je najít takové co nejmenší k a aby n jedna

bylo cele

u de to

mělo by

k se rovná tři patce to bo krátí se jmenovatelem

takže k srovná tři a tím pádem

a nej ledna u de

třicet dva

mimochodem kolik bychom dostali kdybychom tali

tenhle ten postup neznali

a snažili se po spočítat

jako dvě pí

lomeno

tady k tomuto to prosím vás o špatně ho zady je v prostě fuji

fuji vzorec

kdybychom ho použili

praxi uvědomíme že vy ta bylo dvě pí lomeno

při pí lomeno šestnácti

tu znám byla

že by to bylo

třicet dva vteřin třice dva třetin

tedy ji nějakých dese celých

čez čest šest a tak dal

no vidíte že tímto postupem byzme se dobrá vy k periodě

která není celá a to je v diskrétních signálech nepříjemny

jak takže

k to byly na takový fu je příklad který periho ně silnou černou škrtnul

o jíme to rich zkusim nakreslit

tohle bude n

rybu de s m

v ester a

pravým že si mohu pomoci spojitou funkci jí

kosí nulu s

tří pí lomeno šestnácti t

tak asi tou fixy opravdu bo můžu

jakou myslíte že tady tahle funkce bude mít periodu

dané pozor přesně odteď máte krom o frekvenci tří pí lomeno šestnácti

takou to budem it periodu

kdyby to bylo spojitý

deset sally šest čet šest pravy sem do pick a měl nakreslený že takže

já si nakreslím tři periody

takovédle funkce

všimněte si že

e se znají kresli dobře chtě pořád o vychází

jedna

tři

c k kde bude

nebu no že tady tento bot

ta časové ose

i k a zapomeňte s je to t je nebo n

jaké hodnotě to bude

to je perioda ne o to znamená na tady bude se celých šest

tady bude

v a krade se celý čest e dvace d jedna

řek bych že dvacet jednal celých tři řek tři

pro dcery dna celých při tři a tak dále

i těch šest je perry lidských a o

a pozor setkal

tady ten poslední bot

při periody ji budou trvat kolik

třice dva no pro c

kreslím tady to pomocnou funkci kosinus tři pí lomeno šestnácti t je to znamená jako

kdyby tam nebyly vzorky ale jako kdyby čas byl u spojí t

jo snažím se při pravici nějakou pumu s tou funkci a snažim se zjistit kde

bude pro se káva dssp

ježíš mariá k

děkuju

jako vy děkuj děkuju

ano

zpátky na základku ták

takže ano tady jako ji v mockrát u rede se celých šest

ale odolal jsem poměrně dlouho že

v a dcery jedna celých při

a starej budé konečně kýžených

přice dva

a teď prosím vás mám připravenou ne pomocnou funkci

a po tuto pomocnou funkci začnu rotačním kulometem

stří what koeficienty

takže tady to nebudu děla nějak přesně nech si to ní po vás

nula jedna dvě při

štyři

šest sedum osum

devět

deset s pozor

de se celých šest nebude žádny vzorek protože dam žádny nemůže ležet

jedenáct v a na

při no a s ten ad no šest na sedmnáct

os na last

devatenáct facet farář a k a no a sledy jedna hat

tam taky ne bude ležet žádny vzorek dvace jednat celých tři nemůže

vace dva hace tři štyri

sedu mace osum

devi

třicet

třicet jedna

tři c dva

podívete čte krásně vyšla na

takže

doporučil ten a spíš použit x l nemu matlat

a l push tušíte že sme si pomohli vlastně je analogovým signálem

který měl ne celu periodu

a teprvé

pro tři hry jody toho analogový ho signálu

se nám podařilo udělat jednu periodu

s diskrétního

která je přice dva ale do vlastně tady ten prav sok příklad jak sem říkám

že to zkusím

takovým bobby chain scheme dělením tak temně určit jen způsobem po mohol protože my určil

periodu toho signálu se spojitým časem prejs m používal jakou o mocný

ták to tadl závěr numerického cvičení

a ještě nebude přestávka protože se vrhne do komplexních čísel

tak já lže ale ještěd pře těm nej zašli ve s komplexními čísly

tam takou motivaci

pokud ztrát

jo l

čtu jede

tak dyž l když děláte nějaké letadlo

tak křídlo se sestávat je s těchto díl o tom se říká žebra

a ta žebrá sou dany sou dána nějakým profilem ktery se počítá podle nějakých šílených

rovnic knots a

no less mere can coff si cosi

může se vám stát

že potřebujete zem pro finta k nero počítat protože potřebujete udělat náběžnou hranu

hrou musí dne v brousit

fano aách e

otázka je bych k a co dělat

když potřebujete mít vlastně k o parametricky dane

zda je zdaný dal it ne profil abyste si k němu mohli to špičku dopočítat

jak sel zimě první věc kterou můžete udělat je jít cedit t naved že ho

tam dáte

na cela r of jel

a ono vám to hnedka vyhodí příslušnou wiki stránkou protože na wikipedie všechno

tak víme

a ta wiki stránka hnedka na začátku vál ní takou krásnou ú rovnici

do které zadáte vlastně vodorovnou souřadnici

a té rovnice

vám

vy počíta

příslušný profil neboli r f je lo

anglicky o takže prostě tady máte osu ta ty k ta nevim x e z

na menuje

na wiki ně její k s jak inak

r je y

uteč někdy za té rovnice dá test na v n parametry

a k vám to vykreslí takou dle bezvadnou křivku

která vám dá profil křídla

rock a pito máte problém

do to že vy to křídlo potřebujete po lepit

bo umyli metrovou balu z ho u

pro znamená že byste ještě vermi nutně potřebovali

která bude

že do všech místech

přesně dva milimetry

poctou černou

a k tím končí tento úvod a one to zatím ne nemůžete to snížit nemůžete

prostě odečíst dva milimetry

roto že před a křivd kdybyste měli rovnou čáru

tak samozřejmě toff

tu půjde o enom že tohle křivka která je should e jí ná

a prostě komínu z dva milimetry to ne to nebude fungovat

co vlastně potřebujete tak určit každém bodě té křivky e s tou leak tečnu ne

ve patch ně potřebujete normálu

a na té normále potřebujete vod měřit dva milimetry ja tam bude potom ta červena

těch

ta té long to nechá v na přemýšlení protože they toto de hrozně pěkně děla

s tu si komplexních čísel

a pojďme se podívat na komplexní čísla s o

nach n posek tom vrátíme a pochlubim se vám x m to na třech řasy

k matlabu dokázat

ták

noblesní čísla reálných známe žel

jedna d na reálné ose všichní umíme

oblek s ní čísla leží

v rovině

znamená reálna osa imaginární osa

pokud potřebujeme aby vlastně nám ta čísla odešla se real ne osy a vydala se

do komplexní roviny

tak to zařídíme pomu si tak zvané komplexní jednotky matematici ji značí jako jí inženýři

jí značí jako je wish budete pracovat z matlabem tak můžete použito nebo to s

a doporučuju vřelé pokud bude ze používat nějaké řídící proměnné cyklu v matlabu takým nedávat

název k í nebo je

zvlášť pokud po sčítáte s komplexními čísly protože si tím tu komplexně not skup pře

drbete

a potom prostě nebude nic fungovat l takže v matlabu můžete použít s třeba í

je nebo k očíčka ale ne jí nebo je

tak podivuhodné vlastnosti komplexní jednotky

or mocnina z minus v jedničky

takže když í vynásobíte dvakrát

se sebou samou mínus jedna třikrát

pro stanem se dolu no mínusy je štyrykrát dost l ne zase kus v jedl

well o pořád eště asi umím

teď tři je komplexní čísla můžou mít

odrou bit zapsána různými způsoby nejčastější je a sitem složkový v r

vy vlastně mám komplexní rovinu

tady je ta reálná osa

tady je imaginární os l

a teď stary někde

je komplexní číslo z o

tohle trh reálná složka vhled o je imaginární složka

a tohle

k tohle z o

tak

zatím si mysim že tohle ste viděli že to veš to umíte

já bych prosil

teďko uvědomění si toho

že se na ty komplexní čísla budeme hodně často

dívat deko na vektory

této vektor prostě orientovaná čára která někde začíná někde končí

pro nás budou ty vektory

začínat

budě nula

o budou končit vtom komplexním čísle

a ty vektory budeme charakterizovat dvěma věcmi

první bude jejich délka

tato že tady todleto je

velka vektoru

můžeme ji řikat modul o nebo absolutní hodnot nevo magdy tou dá

jak ja chcete

a druhá hodnota která nám bude pěkně charakterizovat l netem vektor je úhel o co

který ten vektor svírá s

reálnou osou

tak jak spolu

tyhlety dvě

věci

souvisí

k dyž

mám a

absolutní hodnotu mám úhel

tak pomocí základní

goniometrie

vím že tady tohleto je pravoúhlý trojuhelník že jo

to znamená a odlehlá o dvě snáz se počítá

jako přepona krát kosinus příslušného úhlu

příl lehl od vjezd na se počíta jako si nos příslušného ú u to znamenal

se rovna

co to řekl naopak že vole

při lehl se počítá k o kosinus u odlehlá jako sil

no prostě alla si rovná r krát kosinus v

a b se rovná a r krát si nos fí

takže

budeme moci to komplexní číslo

zapsat

tak je takovým l způsobe

no a to co sme too vlastně viděli tak byl přechod

s toho s toho u vektorového tvaru

do u složkového tvaru load i sem vlastně délku úhel převedl na a áčko a

bečko

wish půjdu zpátky poznamená a ze složkového budu chtít dot do toho vektorového

tak počítá lním aminy tudy neboli absolutní hodnoty bude vpohodě protože všichni asi známe ty

táborovou větu

a na druhou clause bena v druhou pod mocnině

pick ale pozor

počítání stěny sem uhly

nebude tak uplně vpohodě o viděli sme to před chvilkou h na příkladu

kosí nul

který nás taky v docela solidně zmát nul

takže

vím že vlastně mezi těm dvěma odvěsnami mezi b a a

je to funguje to dáno funkcí tam gens

takže bychom mohli říct

fí jí ten úhel

je arkus tangens ú b lomeno a

no ale pozor

ono to bude platit

správně

pouze tady pro tuhle tu oblast které se říka první kvadrát

když budeme mít další kvadranty tak si tam ten u uhel budeme muset dycky trošku

nějak do show lích ad a to přičítá lním nebo odečítáním hodnoty p

ta chylku vidíme

a připomínám prosím že tady sme signálek takže všecky úhly se tady budou měřit radián

poďme zase nějaké dva srandovní příklady

mám komplexních číslo

mínus tři

plus je štyři

ja o to znamená

tohleto je z l

a snažím se ho převést

ná absolutní hodnotu a úhel

absolutní hodnota je vpohodě to dokonce de a i z hlavy

při ná druhou plus štyri na druhou se rovna dvacet pět ano mocnina j pět

a teďka

počítá bůh l

fi jí se rovná arkus tangens

štyři

lomeno

mínus tři

a když tohle narvete do kalkulačky ji tak vám to vyhodí hodnotu mínus nula celá

devadesát dva radián

mínus nula celá v devadesát dva radiánu

je někde tady

a vidíte že to je špatně

no protože to ukazuje na druhou stranu

š to skutečné komplexní číslo leží

takže my teď budeme muset

jak říkám virů hell došlo lích ad

a do šolichá mého ták

že přičteme

pod no tu p

tak abychom z n úhel převrátili na druhou stranu tam kam skutečně patří

takže p mínus nula celá devadesát dva s

rovná se dvě celé dvě stě čtrnáct radiánu

a touž

ruše trošku lepší jo takže dvě cele

jestě čtrnáct

rady v u a sem dobře

příklad druhý

komplexní číslo mínus jedna lomeno odmocnina ze dvou mínus i je

krát je na lomeno odmocnina ze dvou znamená to čísílko bude leže tady

bo čítání modulu asi vpohodě

o čítání argumentu opět v nepohodě

no protože pokusím se o arkus tangens

z hodnot jedna

námi to hodnotu pí čtvrt

hodnota pí čtvrt

je samozřejmě tady

takže

otázka co s tím

a vyko v po račte jak do kompenzovat ta ripple netem špatný modrý úhel

to toho správného komplexního čísla

co s tím pí čtvrt mám udělat

taktika sem slyšel vy odpovědi příčí zpíjí odečíst p co bude dobře

obojí bude dobře

jo já se můžu na druhou stranu

dostat v butt k

že přičtou p tar i read plus pí

a nebo

a dostanu ták

že odečtu p

a rosta no se tam druhou stranou

jo takže

prvním případně vám víde pět čtvrtin p

ale druhém případě mínus tři štvrtiny p

a po obou případech to je dobře

ták

pokračuje dál o když máme terra ten ne

modul a argument nebo úhel

komplexního čísla

tak ho budeme vyjadřovat s tak zvaném exponenciálním tvaru

tak o modu

krát e t na je robu ment

ne o tohle můžete udělat pokud umí travel a tech nebo sovám chce ve wordu

desetkrát kliknout

a když to ne umyté nebo sela nechce

nebo třela programujete tak to můžete zapsat a k o expo do a pod bys

toto je fi jí možna mohli dat možný dam možna mohli dát do závorek

takže mě budemé používat prosím vás hodně často tell na ten exponenciální tvar

modul krát e na je argument

tak atika si zkusme zopáknout nějaký základní operace s komplexními čísly

co té komplexní sdružení

když tam u číslo při pišu hvězdičku toto znamenal

vře

takže já lom tady rám nějaký příklad

no hle bude

číslo z

rázně ovci udělat

ze de z hvězdičkou

k a vo vám namalovat

z dolů ú správně

no a takže tady bude z

hvězdičkou super

a k to sem vyrobil ták že pokud

to z napíšu ve složkové to žáru a plus je krát b

tak to ze z hvězdičkou je a mínus i vy krát b

no vidite že jsem změnil znam inkou komplexní jednotky

a bětka bacha lalr real to komplexní číslo ovšem taky můžu napsat exponenciálním tvaru jako

z se rovná r krát n na

je fí

a co val napsa tady k tomu k tomu černýmu z se rovna r krát

r na

mínus i je fí výborný ráj sem prostě ten uhel skladného

udělám záporný

takže vidíte že s obou případech měním znaménko u v exponenciální u komplexní jednotky

no to je prosím vás se k o základní recept když ví z d jak

i strašně složitý zápis komplexního čísla

chcete z něj i udělat číslo u komplexně sdružen e

tak prostě přepíšete znamínka u všech komplexních jednotek

auly to dobře

ták teti je čítání odečítání

čítá reálné složky

násobím

panebože sčítám dál n složky sčítám imaginární sošky

dokážeme si přestavit prosíme takové sčítání

komplexní rovině

vy byl docela dá z vy by jsme dokázali

takže

když mám

tady oblek s ní číslo

třeba z o

tadyhle

ú rom it

komplexní čísla

tak to můžou dělat vyma způsoby buď si prostě to zetko

rozloží

zora

a z l i jí nějako o k ránou služku i imaginární složku

a tadle siro vložím na jo nul

vy jí

a separátně sečtu

pak se ta nakreslím

a nebo u prosím vás teďka dávejte pozor si vy čísla přesta vy nako vektory

a spust m měří s ty jak ty vektory pudou sečíst

i vektory pod o sečíst a že ta je tell ne

ohod zase nejde

tady tenle chytnete

v texe ú se chtěl k o

puká za tech to umím tady s tím kreslicím soft a není to

prostě jeden chytnete cess u math ho

k ke konci tou prvního vektoru

tady

dostávám e s ledek of tohleto v výsledech c

souš tu součet

bo u vektoru

dobrý takže berry to hlási budeme umět

součet nebo rozdíl

reálných součet nebo rozdíl imaginárních složek

u násobení ja dělení

to bude prosím tak že budeme v dost často využívat

toho že exponenciální funkce libovolného nemusí být komplexní

n a krát n abbe

k může no přepsat jako e na

e na applu z b

znamená násobení dělení budeme většinou dělat

v exponenciálním tvaru

no a pokud to první číslo j r i jedna kráte ne na je fí

jedná druhy je r dvě n a je fí dvě

tak jejich násobení je následující to znamená násobí o doly

sčítá v na argumenty

a dělení

bude podobně

o doly vydělím

argumenty odečtu

jo asi

nemá cenou by vám do

ale ok možná má cit no by mand ukazovat

před přestávkou

not pokud potřebuju v vy násobit ve konk osu dvě komplexní čísla

a to první je r i jedna krát e na je fí jedna

a druhé je

r dvě

e na je fí dvě

a v lamy za u call vynásobit

u tak to je prostě r i jedna

t na je fí jedna

r dvě

henna je fi dvě co štve rovná

i r k a nám dohromady

a z lenem tom že tam mám exponenciálně funkci krát jednou krát z druhou

tak tou bude je

chví jedna plus fí dvě

jo u dělení

byste to asi zvládli tam s enom přehodí z znaménko u jednoho exponent

ták

pro nás budou u

naprosto nejzajímavější čísla

komplex nic ty co leží na jednotkové kružnici

znamená budou mít s ten modul jedničkový

a tyhlety čísla bulu vlastně

nebudou ú sebe mít žádnou

zvláštní absolutní hodnotu

proud o hodnoty n a je fí

a ty budou přímo dá hany kosinus úhlu plus i je

sinus úhlu

ták a je docela fájn že když si vezmeme

dvě takovy komplexní čísla

který leží vlastně proti sobě komplexně združený

tak se z nich dají odvodit šlo v jaké užitečné poučky které byste mohli musel

í jinak

hledat z nějakých matematických

a fyzikálních

tabulkách

poďme se zkusit podívat

podle to je jednotková kružnice

tady je l g číslo

r náš

je c

tady v až i číslo

a n a

mínus i je fí

co se stane když takovýhle dvě čísla sečtu

rámě přídou vás u imaginární složky je to znamená dostanu něco null a null na

reálné ose

a schválně kolik bude mi to něco hodnotu

do k do k žen do střelivo do k a kolik to bude b

a katodu k do podivejte tady toto j reálná složka jedno skif čísel

jih mám tadyhle jenem vektor rim hle druhý vektor

pak jejich součet

bude

jak sme říkali jedna reálné ose

auly to vlastně dvakrát s kari dato délka

že o a kolik je ta kolik je ta červená čára kolik e tight

kolik jednal

molu k je to kosinus

o sinus úhlové pokoje ta je tohleto úhel fí

tak ta červená tlustá čára je kosinus to uhlu

znamená součet ally těchdle dvou blázinec u bude dva krát kosinus uhlu fí

může mezi to dokonce jí odvodit

že napíšu e ne na jiné je

fí jí plus n e na mínus i je fí a teďka si doro split

nulu toho složkového zápis outo znamenal kosinus

fí lullus

je syn

fi jí plus

kosinus víly k a piš o to druhý mínus i je syn fí

do bylo do komplexně združený vidíme že

i hle vy dvě hod matisse navzájem

vy hry žnou

a dostavám dva krát kosinus fí

a po dobu podobně prosím kdyby z no tady ty dvě čísla s posily

odečíst

posyp a můžete zkoušen zkusit geometricky já cen tam neděla love sadně řeže bych to

nedal teďka napoprvé

tak to bude

r ná

je fí

i ho na že mimochodem s toho tu

pramení

to a známá poučka že kosinus pí je

e na je fí plus na mínus i je fí

děleno dvěma tell

no atika po v brou jejich rozdíl

platí následující

ú de to

kosinus tvý plus

je ne si nos fí

mínus

osy most v

teďka to bude mínus takže plus

jestli nos fí

po scene i se nám za ji navzájem

wiki louis í

a no stávám

dvakrát

si no ství no takže

pokuste někdy viděli zvoneček že sinus p

v je t l na je fí plus e r na mínus i ne fí

děleno dvěma je

tak luhu alla to je z ne sil pravě k dokázali

odvodit

jenom sto holil že vím že číslo n notkové k rozích kružnici je kosinus tvý

pusy jestli nos

tak

čas na přestávku firmy not

ták prosím podm n od meze ho pit usadit able pokračovat

tak já sem tady ji

doposud sem tady mluvil o komplexních číslech

aida čísla nejsou až tak zajímavá protože my jej v je necháme trochu rozhýbat

nebudeme vracela s komplexními funkcemi

a uplně nejzásadnější funkce pro na s

bude funkce

e na je x

kde to x bude obyčejný ski reálny

číslo

zkusme

nemluvíme vedle já y a neni z vidět aha já k ta je tady taky

n pardon

takže já no mu

děkuju mockrát za připomene tik ve zajímavě ž hlavní posluchárna e sto dvanáct

nereagovala ne hi mě seli vyslat m i s r zing posluchárny

v r k hall nová se takže vopakuju budu je nechám komplexních čísla hýbat

po uděla mezních funkce

je důležitější bude a na j x

co se stane když v zatím

žadná funkce l bude no číslo

i k se rovná nula

to umíme ne já jen a je nula

neboli n a nultou je kolik

že jedna

znamená v budeme mít com projektu budeme mít

v reálný číslo

normálně v jedničce na reálného se

a teďka pozor

lets

let de slink dnu vinným

když pustíme

jej x a nechám o zvětšovat se do kladných čísel

co ze stane

roto číslo

komplexní své rozběhne pól jednotkové kružnici

pojede proti směru hodinových ručiček

pro jak i uhel prak iksko bude tady jak get up a tyčka to jet

pro pí půl u

tady

pro p

y bude

pro tři poloviny p

atari vode pro dva krát pí

no to znamená a

to čísílko oběhne celý kruh

z s úhel dvě pí

a potom bure by já s takhle pořád o kola

a štos dnům nutí

znamenala my můžeme říc že

ta čísla funkce n a je i k zbudou na jednotkové kružnici

a že vtom to bodě se to čísílko objeví pro všechny hodnoty kterých sou násobky

dvou pí

no a teď prosím vás dek to nějak zachytit graficky tři de

tak k zdají máte úžasnej obrázek v hodnot a x

reálná losa běží tak dle od vás imaginární je svisle startujeme vědní chce

a vlastně opisu jeme opisu jeme šroubovici jenom ho spirálu

podle toho jestli s to jest spíš strojaři nebo pijani vína tak si to může

to je přestali buď jako šroub a nebo jako vývrtku a

ta long to o boji c je

jaké je prosím s stoupání toho šroubu nemo vývrtky

z areg dlouho na té ose x to udělá jeden závit

za jakou hodnotu na ose x uděla

ta vývrtka nebo šroub jen n závit

o tak za dvě pí

l prostě k když dojedeme do uhlu dvě pí takto oběhne právě jednu periodu

r teď prosím vás l

důležitá věc o kuci vezmeme reálnou část

ste funkce n a je x

tak bych o měli dostat kosinusovku

a pokud v imaginární část do bez neměli ostat sinusovku

pro leč

o to že v z n řekli

že r na

je fi jí

bude definované jako

kosinus tvý plus

je s

fi nos

fi jí

ták e

a teď prosím vás přicházejí na řadu

úžasné komplexy má hle

na s asi bohu že mu žádnou nenechal takže v ú si ten x prvek

musite udělat sami

pokud se na tu komplexní láhev noho mě jednu puč to jestli můžu si můžu

poprosit

ne neházet ne moneta na let roce last r

kuji

tak rice i možná de konce zapnu

ve tu kamerku

a byl tento zážitek nebyly ochuzeni haně kolego ve

vedlejších posluchárnách a na webu

ták

tato osa

bude zřejmě reálna ve hled a osa je imaginární tímto směrem

jen to směrem postupuje od nota x

tetě pokusy ten nastavit elek samozřejmě vidí de to komplexních šroubovici

a jéje teď mě prosím vás poraď čte

jak s toho dostat

hodnotu kosinus x

tak se dělal m jen na duše prostě se to natočíte ták

že dostanete

cela nároční kroutit z rukama při to sedí lana mód del ale u s o

tam mám

tak ty se vlastně dívám

pouze

na reálnou osu

rád e takhle

a na osu x

a vidíte že tam je vidět pokud r abych sto

zatočil pořádně a ne jako blbec takhle nakřivo

ták teď tam vidite naprosto krásnou

no a krást no

ale vidíme tam kosinusovku prostě dostáváme průmět

x versus reálná osa aby díme o sinusovka

pokud se podívám na to no jak to vypadá imaginárního sou

tak to jenom vedl ho to čím

zase si udělám ve kov ale z cvičení k ordinace svalové

a teď a díte krásnou

sinusovku

a k dokonce snow komplexní lahví si můžete udělat eště třetí experiment a to podívat

do průmětu

ram ná osa imaginární ho s a tak a will zmizelá hodnota x znamená vek

vestu zapíchnou do oka můžete

co uvidíte f poslední půl vteřině

ne n až stereo zapíchne to tak neuvidíte nic to viď i pet rudou možná

ale

před tím uvidíte co

jednotkou kružnici přesně v k dekl

takže poslední v je sto je vidět před i pich ne tím oka je pošlete

zase do her si je jednotková kružnice

nevím jestli se vidí b law nebo rudou wish si vy píchnete oko v a

nebudit of zkoušet

ták k je tech prosím vás další věc

vy sme terry viděli že ku sinusovku

lze vyjádřit

ve not

z máme měla týdnu hell alfa

a kosinus alfa

lze vyjádřit teko t j je alsa plus e n na mínus je alfa

lomeno dvěma

takže

my se o vod něco takového mže nad pokusit

pomocí dvou komplexních exponenciál

e na je x

henna mínusy je x

e na je x vidíme to je ta komplexní láhev která tali veď chodí a

je to ta spirála

o ktere sem mám říkal která vlastně i wish tou otočím osou x sobě nevy

bych no si oko tak se točí proti směru hodinových hrotitě

jak výroby komplexně exponenciálu r a mínus je x

lise otáčet opačným směrem a odkud budu s taktovat pro i k se rovná nule

odkud budu startovat

zase

nejr o toto je řekl dobře je zase z jedničky jo protože e na mínus

i je nula

je taký jedna takže může lo startovat z jedničky

zobrazeno to máme na tomto

krásném

na tomto krásném obraze

toto je komplexní exponenciála

která startuje vědní chce točí se proti směru hodinových ručiček

a valí si to takhle pěkně až z na mínus nekonečna n a je i

toto je komplexně exponenciála e je na mínus i je x která de po směru

hodinových ručiček

když si udělám průmět

obou dvou

do a reálné osy

a do imaginární osy

tady dostanu co no hle s neviděli na komplexní v vide dostanu kosinusovku

sinusovku

u té druhé

dostanu zase kosinusovku

ale teď k pozor mínus sinusovku

znamená že když tady tyto dvě

komplexně spony fiály sečtu

tak dostanu

dvakrát kosinusovku

v reálné ose znamená číst o funkci kosinus

a ty agrární

nic

o tím pádem to budou obyčejně s keys reálny čísla

který budou vlastně ukazovat funkci dva krát kosinus x

takže

mám určit i návod

na to

já k pomocí dvou komplexních exponenciál na implementovat

kosinusovku udělam do tagle

elena je x

plus

na f mínus je x

jeleno

dvěma

ták poďme ho kousek dál

co je to je strašnej obrázek na té honem rychle zapomeňte

ne ten je totiž nepochopitelný i pro mě

tady tenle

za chvilku bude zdrhl koule lepšího

ta e v pokor by chtělo dělat obecnou kosinusovku ve s počáteční fáze to znamená

mum nějakou amplitudu

c jedna

kosinus omega jedna t

a chtěl bych i zase rosz

rozdělit a i vyjádřit pomoci dvou komplexních exponenciál

jak to udělat

zase v du s toho

že kosinus

alfa se rovna a je jen a je a low a plus je na mínus

i je alfa lomeno dvěma poznamená udělam si drobné cvičení a zjistím že to je

chce jedna

krát

celé jedna

krát t na je

omega jednat

plus

se jedna

n a mínus i je omega jedna t je to se led e dělena dvěma

a nejčastěji prosím vás e to dělá po jednotlivý komponentech

do znamená mám první komplexně exponenciálu která má

pita dybych možna neměl ani říkat amplitudu ale

řek bych tomu

půlku tloušťky trubky

a o protože dokážete si přestavit do komplexní exponenciálu jako čáru která se motá po

nějaké trubce

a její amplituda je vlastně jí poloměr chtěl u dyž tam nic není ve k

to je jednička

a k že tam c jedna půl taktu je poloměr dle trubky

krát e na je omega jedna t

plus

c jedna polovina krát e na mínus i je omega jedna t zase ty dvě

komplexní exponenciály musí běžet proti sobě

z o tam inom dvě změny

jednak jsme jim v nutili jinou tloušťku

š dneš jedničku ho známe na šlo půl tloušťkou pardon ta rijece jedna půl

co jedna ku

a tagy sme jim v nutili jinou periodu

zatímco

před chvilkovou

ta komplexní exponenciála udělam jednu periodu

za hodnotu dvě pí

tak ja si mi bych k a vnutil něco jinýho

vnutil jsem í periodu

která je vlastně dvě pí lomeno základní kruhová frekvence

tak jak sme si to ukazovali před chvilkou prostě pokud část s

do i de do této hodnoty

tak my vlastně argumente funkce udělá a jednoho ú dělá dvakrát p ktery jednu periodu

za to z na nás funguje to uplně stejně jako u kosinusovky

r počítám tady základní kruhovou frekvenci omega jedna jako dvě pí

lomeno perioda s

a samozřejmě naopak

tak a poslední peška k of

alt i mejt

záležitost

budé pokud budu chtít vyjádřit kosinusovku i s počáteční fází

zase pomocí dvou komplexních exponenciál

tak poďme se podívat jak to víde

pojede v totiž pod na ku plně stejnýho mustr u

jako před chvilkou to znamená mám

a já v a náto schválně budu dělat ručně s protože

bych chtěl aby to bylo

od ně shodně a sny

mám tady

chtě nemám pořád s v do

tetě dyž mám

tak z mám berry tulil

obecnou kosinusovku

a budují chtít

s klid e note nebo rozdělit do dvou komplexních exponenciál

pod mela to zase prosím budou využívat

vzorečků že kosinus alfa

se rovná n na je alfá flus o jedna mínus i je alfa

je lan dvěma já by měl hotely dneska piš ú škol čtvrt e ale i

vopravuju hodně zásadní takže nelituji pohybů rukou

k poďme na to

co je jedna

krát rede na je k omega jedna t

plus chví jedna

lomeno dvěma

plus

co je jedna

já je na

mínus

nějak mě tam i lítají

ty je čkat pardon

toho bude rychlejší

takže ceny jedna lomeno dvěma krát r na

jí je

push to bude dobrýho omega jedna t plus fí jedna

plus

co je jedna o lomeno dvěma n a mínus je

omega jedna t plus fí jedna

lo opravdu sem neudělal nic jinýho

ne že jsem zcela mechanicky vzal tenle vzoreček

a nasadil ho lo na svoj obecnou kosinusovku

tak atice ještě prosím vás pod neuvědomit

že

když je funkce l

ná exponenciále k tram a trata má součet dvou argumentu

třeba srdíčko

a kříže check

pro vás k do ste karbaníci

možná trávy a má mračí mariáš u jí kart jak jsem ta mol dat že

po žalud ale

no hře

na k e to dokáže mne

napsat jako t

na srdíčko

krát

nejen a křížek

to je tu to je poměrně zásadní

zásadní

rovnice kterou budem potřu

l takže pomocí toho tomu stru já rozdělím argumenty

těch dvou komplexních exponenciál a uvidíme co to udělá a eště pozor du zkusim si

dat

bacha na jednu věc

na začátku toho výrazu z dycky psat věci kterej se nemění s časem které jsou

fixní

a potom tam dat věci který se začnou hýbat v když pustím wish pustím čas

t ho tak pod ne na to lež dam bude c jedna půl

prát ten a je

fí jednal

krát

e na je

omega jedna t l

luhu s

co jedna půl krát a je na mínus

je fí jednal

krát e n

na mínus i je

omega jedna t

tak a tyčka prosím tarif téhle rovnici bych chtěl u poznačit černou jako ta com

mrtvou barvou to co j fixní to co je konstantní

a červeno mu to co se hejbe proc začne něco dělat když pustíme čas

tak

šla mám černou pastel cut co mám obtáhnout černou

konstanty k fixní hodnoty

dobrý

ta je todle ne lo vše skla z co je uzavřeny vtom ne černým štve

dečku sou fixní hodnoty

c jedna je amplituda c jedna je počáteční fáze nej besed o

tohle

za hejbe

ta je komplexní exponenciála o a vtom vedlejším víra ze

je totéž

todle se nehejbe

todle

hejbe

r l

co mě může peří starý o tyhle

jehle dvou hodnotách

se jedna

jsou to komplexně združený číslá i má toho bodu lo který je rovný polovině amplitudy

té původní kosinusovky

a má to argument

tohle to má argument jako počáteční fáze kosinusovky a tohoto má argument jako míru s

počáteční fáze kosinusovky

takže přes o ty dvě komplexních čísla sou proti sobě

a sou komplexně sdružen a

jaký by byl mimochodem jejich součet

král knee čí a kolik

bacha nechť i jan í dečka

pře filko smell si to tady malovali jsou čet dlou protilehlých komplexních čísel a lije

a v dál v mysim že by to byl otce jedna krát kosinus

fí jedna down zkuste si to sami mělo by vám ně se takový jo v

ták

že tady dostála a ne vlastně len to příklad a já mysim že

spíš hneš abych vám kozova tile dva slajdy ve k vám ukážu krásné demo které

vyrobil punk a něho k

můj

bakalář s někdy před třemi roky

ještě jednou

opakuje že se budeme dívat

kosinusovku

tram nějakou amplitudou počáteční fázi a e po j

rovu frekvenci počáteční fázi

a u romy sedí v areg se dá r o seknout do dvou komplexních exponenciál

jo je to k dispozici normálně z webové stránky je s eska

rim vidíme vlastně tu kladnou komplexním exponenciál

of tomhle případě

je to

v a set šest

krát e ne na jedenáct pít e

ta druhá bude dvacet šest nejen a mínus i jedenáct víte

když e ráme dohromady

dokonce ta jej valí na ková krásná animace

tak vidite že to na reálného se vykresluje

práv snow kosinusovku

která má sto mule případě je maximum čase nula

roto že z ne tam neměli nikde žádný

neměli s ne

nikde žádnou počáteční fázi

stát a teďka vně prosím vás puste říct

co se s těma dvě má komplexy má exponenciálama sim a komponent s ním a

stane

když přidám počáteční fázi

v iště vymýšlím počáteční fázi třeba a

plus

čtvrt

radiánu

no v

dá vlasy byl slova a dav otázku všem mohl bych ta je ji tu operaci

přidat počáteční fázi jenom je dne

a tu druhou necha v na pokoj

tavit sta ho potom nevycházel kosinu ze otto by nevyšel reálnej si dna protože najednou

vy se mně přestali potkávat sty komp ty v imaginární b složky znamenat v dostal

bych něco komplexního a tedy hnusný ho

takže když psy budu hrát

počáteční fází

a k rozhodně prosím

musím přidávat stejně

s té prvních sem udělal

dvacet šest chrát n na je nula celá dvace čest pít přidal jsem štvrti know

znamená vidite že to za čína

v zhruba sůl u pětaštyrycet stupňu a dick asi dám přes pusou že ta je

se nesmí používat stupně že

a l

je to v rostě o směna kruhu

na druhá exponenciála musí startovat

úhlu mínus nula celá dvace šest v

znamená tady

a je do l neni zama zavře viď e

ad jestli prosím vás podivejte že

když se to naskládá

kosinusovky

takže mám zase perfektně

udělány

reálny čísla není dam nic komplexního

a l ta kosinusovka

není

centrovaná z nule ale je

abych k bacha jaká je předběhnu tá nebo je zpožděna

přidal jsem fázi nula celá dvacet pět p

je p je předběhl r a od divej tepu ona by vlastně

měla jít eště kousek sem to znamená

svůj e jich špičku by měla mít záporným čase tím pánem je okolo lo oproti

té původní předběhla

o kolik je předběhla

jsem přidal nula celá dvacet pět p

nech nechci dick z rany výpočty oko o kolik procent nebo o kolik ze své

periody je přeběhla

ryor a není vy čtvrt

r i jo d perioda

ne a sem přidal počáteční fázi nula celá dvacet pět p

a chci vědět o kolik když bych si do chtěla k o todle očima zkontrolovat

o kolik se mi posunula dolévat

u o osminu periody přesně tak let o čtvrtinu

půl kolečka

znamená o s minut

celýho kolečka

no a vidíte že ta osmina periody

ta je dolé že tá si platí už u si pustit animaci žel o té

hrozně ski a l podm s i spíš u ukázek by to bylo dyž bych

dal půl p

wish dám půl p

akta restart ju vlastně jenom s imaginární hodnoty z je čkat a

tady start v z mínus i je čkat a

udělám i to

kosinusovku

která je posunuta o kolik

o půl ne o čtvrt periody jo

znamená že by to vypadala komínu sinusovka a tak dál a tak dále může besi

prosím vás e k o hrát dle libosti je to kdys pozici z webu u

je se s

ták poslední věc

v poslední věc

když

se budu bavit o tom jakou hodnotu

bude mi ten signál v nule

nulovým padla

v nulovým čase

napíšeme si ho ještě jednou

mame vlastně signál napsaný jako c jedna půl krát r n a

vy jestli jí krát e na

k je omega jedna t j plus

co jedna půl

e na

ninu si je c

mají být jedničky jeho sorry je na mínus i je

omega jedna t

když se bude v balit vo tom kolik

to bude včas e nula

lo tak samozřejmě pokud čas bude nula tak to je tuhle bude nula dohle bude

nula

tím pádem ty členy trén a ja jed nula v budou v jedničko vy

takže je můžu klidně

je klidně škrtnou s

a dostanu

součet sto hole koeficientu

s tím do koeficient

dva a

kolik to bude

pře jedna půl krát

na je fí jedna

plus

r na mínus i je fí jedna

no a tohle u sme někde viděli

protože

e na je alfá

plus e na mínus i je alfa val v lomeno dvěma

bude kosinus pro ho role úlu takže by to mělo být

c jedna půl krát kosinus

fí

jedna

hrát v a

jo a k jasný že tady fi dvojky mě vypadají

znamená ne a dostávám hodnotu se jedna

kosinus fí jedna

a té je dobrý protože to je hodnotou kterou by ten signál měl v nule

mít já od jenom prosím s

připomíná

že

ten signál před tím než mého začali strašně pitvat na komplexní exponenciály

když eště vypadal slušně

tak vypadal takhle

a k d znal též vlastně posadili no času

t nula

tak jsem die tohleto mohlo zrušit

což znamená lžete c jedna

o sinus fí jedna

o taže

ta je tylety dvě věci spolu sedí

asi to budeme my dobře

tak jsem na konci

přednášky nebo části o komplexních číslech

a ty commit otela nedá bych se z f nevrátil vtom křídlo

jak ste je černé čáry

zastanu to červenou čáru

přestavte si že

tady máte vedle sebe

ně komplexní čísla jo protože člověk si nadefinuje samozřejmě nějaký body

pak si proto vypočítal dno ty takže ta rijece jednička

rijece dvojka

já mám černý čísla co jedná c dvě tri sou těsně vedle sebe

a potřebu s toho dostát

kousíček nebo jedno číslo na té červené čáře

ták ja nám řeknu svůj trik

a sem samozřejmě přišel na to

že ji dyž ty čísla odečtu

znamená udělám si c dvojku mínus c jedničku

tak mi to dá

tenhleten tenleten vektor o tom vtom to směru

titem vektor potřebuju otočit po směru hodinových ručiček

o práva ji úhel k rock to udělám

o a ne

ne jenom znamínko vy mě to vyřešil

potřebo komplexních číslo který je tady tenhleten modra ji vektorek

otočit

o devades stupňum sem

tak a vy tali byl prava ji úhel

s tomu byla hrozně složi ty

prosím

odečtu pit půl tou za či na vypadat dobře otče ho

o tu mohl u tight l čísla dobrý a let do kdybych to rozkládal odečítal

pí půl u a pak ze skládal to jedlo rovně s lodi ty u ste

poradí ne s o jednoduššího

co kdybych tady tohle číslo vynásobil

čísl n na

mínus i je pí půl

já o modrý čísílko násobím číslem e na mínus je p pull

nás objem de komplexní čísla jak se to děl a násobím moduly

co čí tam argumenty jo

tohle to komplexní číslo má modul kolik

leží na jednotkové kružnici

nikde they není žádna konstanta takže jedna roto znamená z modulem to nic neuděl a

jenom i to ta vektor otočí

a argument

se změní ták

že e

bude

otočen i

přezky ho ten úhel

jak potřebo

pak je tam ještě jedna věc

aby jsme dokázali namalovat ku červenou čáru přesně dva milimetr ipod tu černou

tak musím vlastně udělat normalizaci toho červenýho vektoru tak aby měli jednotkovou velikost

a pak ho vynásobě ty dvěma milimetry

ale tou jsou beta jeli jo

a pokud by se chtěl někdo podívat na ten ax n to krásně zvládnul

tak se to dal

do materiálu k minulé přednášce

a h

vechty a jsi nějak i ji nejry torr

o ho

line ní dvor word pane jeho jeté eur p de

jel jo

ne v ne budet nebol to projíždět dlouho ale v co je potřeba tak na

ose x i nadefinovat nějaký body

no ho počty borů u pak tam rozhodit pod no ty

tahle ta rovnice je naprosto přesně ho prásknu tat z wikipedie

pak s nohou děláte komplexní čísla rostě x o vás m řadnice plus i je

krát ypsilonová souřadnice

zistí se ty

tečny

atari e na tuto rovnici sem opravdu hrbí

roto že ty normály to znamená ty kolmý čáry se zistí v jako

derivace krát mínus i je do ta hodnot nejen a mínus i je pí půl

u že kterou jsem se ta je pře celko u reko vytahoval tak knee nic

jinýho než mínus i je

a hotovo mate vidělo vana

vyděláno tagu se to je no musí nakreslit

tak opouštím komplexní čísla

jo a k kdybyste se chtěli podívat se to nako nezdála

tak to je tohleto je výsledek l

a tady někde je prostě náběžná hrana se brou si v opravdu podle šablon získaných

to je to u to už a snahu funci

metro sme sát rozpětí je to velký

je to těžký doufám že plní koho nezap je

pro tak tá k k

a je to drahý a kra strávil jsem na tom strašní ho čas

fájn e a

o díme prosím vás teď dot komplexních čísel

ke jich aplikaci

fourierově řadě

po fourierovy řady

tady ten program patch nebo do probíhal s

půjde vlastně o to

že půjde o první frekvenční analýzu kterou gary uvidíme

do které ne přichází nějaký signál

s počítam fotr

a padá zní spektrum

l neboli nějaká reprezentace

toho prvního signálu

toho původního signálu ve frekvenci

to že se to menuje řada

fuč nám také koně jak napovídala

ž spektrum

bude v řada nějakých číselného že to třel a nebude funkce

ale že to budou nějaký čísílka

a ja vás tady předem varují ty čísílka budou samozřejmě komplexní proto bych se tice

něm a tak

hluboce a dlouze

nezabýval

a l všechno to s o smet to je doposud dělali to znamenaly jsem řikam

že sou

že nějak vyjádříme kosinusovku

a že tam budou dvě složky které navzájem budou ú navzájem budou komplexně sdružen e

tak tu na všechno uvidíme

takže pod nedo fourierovy řady k

opakování

které bude v zcela bleskové protože z mez odteď viděli

komplexní exponenciály

a proče máme tak strašně rád nich

pop čas mě jako strenky nebo kolego ve říka je honzo pro si to prosím

tě dělá s něma komplexníma číslama

r hrozny ji nejde to nakreslit nejede to představit

takže s o taji by dva ú vody

za prvé se

tady na elegantně vyjádřit

libovolná kosinusovka

s libovolnou fází ho to po musí jediné funkce

za chylku to z zach luku to uvidíme

ne o zbytek u sme viděli před chvilkou jenom připomínám

že vlastně tu kosinusovku

rozplizlé know do dvou proti sobě jdoucích komplexních exponenciál

tohleto vodou černý hodnoty brod že jsou konstanty

toto sou dvě komplexní exponenciály

terry se motají včas e

motta d se proti sobě

a druhým důvod

vo je takových zapeklitější

a ten praví že je když vezmu

jako v u v exponenciálu

a pro ženu je nějakym systémem

tak na jeho výstupu

bude opět

ta samá exponenciála

u které jsem možná změní inom tloušťka to znamená bude de plus čí nebo tenčí

a možná se změní

její otočení neboli počáteční fáze o ale rozhodně

s s t exponenciály nestane ostnatý drát nebo nějaké kostičky nul se takového

rozhodně se nezmění jejich frekvence

pokud i systémy li nární časově invariantní

tak opravdu to co do toho pošlu tak zase vypadne ven

akorát o možná bude trochu většinou menší a jinak přetoč e ne

ne op of opravdu ne lo po aby se zvýšila v rychlost otáčení nebo aby

to tam přidalo nějaké jiné frekvence

tak potřebujete nelineární systém

no když třeba nebudou mít

když mu no mít k i

i dál ní zesilovač

do kterého pošlu komplexní exponenciálu nebo bo kosinusovku

jako opravdu odpoví

komplexně exponenciálou která budet širší nebo ten she

a nějakou jenou kosinusovkou oleu opravdu vůbec nic i tam nepřidat

aby to tam něco začal obci dávat

tak mu si to udělat zesilovač který třela bude limitovat e lovíte do taji hrajete

napit r u

lek rickou

že máte různé efekty

které dejme tou mají takovouhle převodní charakteristiku

kdy prostě v nějakym rozsahů hodnot zesilují a potom už nemůžou za silová takto zaříznout

jan na nějakou hodnotu

znamená když půl pošlete dovnitř

kosinusovku tak s toho vyleze

něco takovýho ho

a to jak mám jako na našem by part mentu takový uchylný koníčky jako že

je denci prostě rok brousí nějaký letadlo tak věren kolega má zase uchylný koní čech

tom žal si rok stavěl elektronkový zesilovač

který prostě za řez v a mnohem líp nežidy byste si to udělali ja sid

desetkrát levně jare se krát rychleji s tranzistory

klad si pět krásně sviti cích elektronek

to nevím možná želv mě zab je letadlo a jeho kop že ho elektronkový zesil

lehce

je že ta ji v r ve se

ne takže vracim se k to může opravdu pokory je l t jí lineární časově

invariantní systém

tak ten e s ním skutečně vůbec nic neděla

ták nějaký důkaz kterým ale si projedeme dost rychle

víme že mlynár ní systém má nějakou jim pulzní hon odezvu nějaký h t

já do něho teďka

pošlu nějaký vstupní signál

a ten i k ste

bude definován echo

e je na

s ta e

de to esko je libovolný komplexní číslo

jo dokonce s n tady ne omezuju na nějaký je omega jedna t hale k

může tavit opravdu libovolné komplexní číslo

a když si potom uděláme nějaký drobný výpočet

tak zjistíme

že z výstupu z alla systému

zase l z na s t to znamená ten původní signál

a ten původní signály je násobený

jakym se jí děsivý

integrálem

a l pozor vtom integrál e se nikde neobjevuje skutečný čas jo ten i integrálů

děláte jednou

a výstupem

toho integrálu

a je prostě nějaký číslo

rým budem v označovat h s

zla je k konstanta

to je k prostě komplexní konstanta

která má svůj modul pram s moje argument

a tečka

nehejbe se s časem

je prostě pořád stejn a

to znamená

my potom se dokáže mě říct že výstupní signál vlastně budete původní vstupní

násobený jenom konstantou

a ta konstanta dokáže změnit jeho tloušťku dokola že změnit e ho před točení

ale nedokáže změnit to jak ten vstupní signál vypadá ni to pořád ta samá fifo

nancy já

jenom takovy

příklad

co se stane

když mám komplexní exponenciálu třeba

dvě a půl krát

e na mínus je pí čtvrt

krát na je sto pít e

a teďka prostě mě víde že hodnota to je konstanty je dva krát je na

je pí čtvrt

co s tím teďka

když tory tyhle dvě věci napíšu dohromady

v f to bude dvakrát

e na mínus i je pí čtvrt na to s v a

tato schválně napíšu

krát dva a půl krát

na ninu si je pí čtvrt

krát

a n a je

sto pít e

a viď m že vlastně vešker operace se vodou

odehrávat na úrovni terry těhle dvou konstantou to dvě komplexní čísla moduly násobím

argumenty sčítám

poznamená dostanu dva krát dvě a půl

v a krát dvě a půl

r krát e na je

víš to rott

mínus pí čtvrt

krát e na je

s to pít e ho takže vidim že ta rim mně to u spěšně

se vy rušilo

e na jen ku

na nulu tou n a je nula je jednička race do vynásobí no to znamená

dostávám hodnotu pětkrát

e na je

sto pít e

jak se to projeví na tě komplexní exponenciála

tahle ta první

měl

poloměr

dvě a půl

a startovala v bodě

mínus s v je pí čtvrt s tady k

no a ta druha a uplně stejnou periodu je to úplně stejná komplexně exponenciála akorát

jet plus čím á dva krávě ti poloměr

a startuje s l

žádnou počáteční fází

to znamená klasicky

z bodě na reálného se nemůže řikali jedna

protože vona a vlasně poloměr pět znamená tady

startuje

z budu pět

no ale vidite že je to pořád funkce toho some ního charakteru

ni se na ni ne změně

o k

eště poslední věc proč terra ty komplexní exponenciály vám ne tak strašně rádi

je to protože když to takhle pěkně funguje s těma systémama to znamená

že to dokážu prohnat systémem

a on vlastně jenom e

změní tloušťku mění přetočení jali jinak nic

rich budeme mít nějak i opravdický si ste jej opravdický signály který budeme chtít těmi

sig systémy prohnat

tak bude strašně v horny si je napřed rozbít do sady nako věk komplexních exponenciál

s těma komplexníma exponenciálama pak push vím co vám dělat

ušlo je do systému bude jenom

násobit ta bude inak otáčet a pak je zase na konci složim dohromady

znamená s zasej jako jsem veden takovou tou strategií

když ú mi mě celo tak to budu dělat pořád o kola a složitý věci

si rozbiju na a spoustu malých problému ktery umí dělat

ták

kujme se konečně podívat na to co to bude

ta fourierova řada

bude to fungovat jenom pro periodický

signály

a k že nějak i

signál i k ste se spojitým časem

t jedná je základní perioda

a teď sem

v budeme snažit rozbít s tady ten signál

do spolu ústy komplexních exponenciál

schválně já vím že tyč s ú mi jsou takový děsivý ho včas

takže já vám to zkusim napsat po jednotlivých komponentech

ne signály k ste

budeme rozbíjet

ná

třeba

mínus

štyři

krát n na

mínus je štyři omega jedna t e

plus

a tak dál a tak dal hash plus

se nino si jedna

r é na

mínus

omega jedna t

a školu s c nula no

plus

se jedna

r é na k v je jeden krát omega jedna t

plus se dva

je na je

dvakrát v omega jedna t

plus měl něm měl měla

a školu s co je štyři

r na je štyřikrát omega jedna t e

ale tak dále a tak dále je s

až no nekonečna

tého když

jsi nech si upsat ruku

tak to uzavřeli lekl v f sumy

kde pravým že koeficient se nebo rýže počítadlo k jede vod mínus nekonečna do nekonečna

že sou tam nějaké koeficienty ty se budou meno what ceká

a ty budou násobit

komplexní exponenciály

je ta amiga jedna t

omega jedna je základní kruhová frekvence toho signálu

a k

krát jej nějaký její násobek

ták tetě jak se tomu bude říkat

těm komplexním exponenciál ante roje v blast nebudou tak dle vodká kane

o násobky té základní kruhové frekvence po do říkat harmonicky vztažen e

komplexní exponenciály a krásný na lze

a teďka mě zkuste

po u vědět proč sem tady chudákovi cenné nule

nenapsal žádnou komplexní exponenciál on tam brečí rostě

já bych je tam mohl napsa dřeva v bych mu mohl napsat

r a n a je

nula krát

omega jedna t e

akorá že v no do bylo do z houby platné protože

ten nulový exponent zařídí že tato hodnota bude jedna

znamená co je nula bude jenom konstanta

to že chce nula bude dál brečet strašný

e fájn

poďme se podívané k to může jak to může vypadat

jak bude vypadat

koeficient c nula když ho namaluj nako funkcí času

pořád stein i

rovná čára konstanta

su ste mi bitka říct čemu myslíte že tace nulka bude odpovídat

signálech

a brito je ne

co je nula

lo povidat stejnosměrné

plošce non e měnné složce signálů prostice je nula je konstanta

která celý ten signál vůle posouvat buď nahoru demo dolu

samozřejmě pokud

se chci mid reálný signál tak c nula musi být reálné číslo logicky

ták a dick a se poďme podívat na ty jednotlivé komplexní exponenciály

ta první

která se bude krotit s

s se základní kruhovou frekvencí signálu

u do vypadat nějak takhle po bude pro koeficient jedna

tohle to bude pro koeficient mínus i jedna

a je jasnej že

je dvě vlastně se budou lišit

jenom

ve smyslu otáčení ho buje tam n na je

omega jedna t

je todleto v pro corp roká jedničku

tohleto v pro k a ninu sedničku to lo bude e na mínus i je

omega jedna t

lo prostě ten signál a málně jakou základní krovu frekvenci

kterou získáme k o dvě pí lomeno perioda

tagle se kroutí

první exponenciála tak dle mean ostré

wish se podívám na tu

druhou

v se rovná dvě

v se no v na mínus dvě

tak tady můžete na sat n a je ne dva král ta omega jedna t

a todle bude e je na je ninu z dvakrát omega jedna t e

a my zle si tady hnedka do první přednášce povídali

co se stane když vynásobím čas s nějakou konstantou že loby shaw žil zrychlí

to se patch stal

no na sem prostě

vynásobil čas

dvojkou dva kráse o zrychlil

a dostanu vlastně tu samou funci jak ráže dva krát rychlejší

znamená za jednu periodu toho signálu

táhle tá komplexní exponenciála

push neuděl a dvě otočky i jednu otočku ale udělá ji dvě

no atari by to samozřejmě šlo pořád dokola

tohle je k tři

tohle je kách ninu s tři

a todl a tede

a vidite ž dycky ta

s kladným znaménkem

se k kroutí a teďka co vomlouvám proti směru hodinových ručiček

protože musite ville s tamle na střechu

a podívat cena to s této strany

a tato se kroutí po směru hodinových očiček

tak nějak e základní vlastnosti koeficientu

for žil

pokud chci jo by to dopadlo dobře aby na signál byl

byl

reálný

tak bych měl dat velky pozor aby ty koeficienty které sedí proti sobě to znamená

ceká a c mínus k

byl vždycky komplexně sdružené

jo pro leč

na to že ony vlastně budou

před stáčet ty dvě komplexní exponenciály z osou proti sobě

a mu si je to před točit přesně opačně pak se ty dvě komplexních act

počky

složí do reálného signálu jinak by to dopadlo zle

tak teďka se je nula v zvláštní případ

ten musi byt komplexně združený sám ze sebou

takže musí být reálny

a jak u se mám říkal bych se jet bude jednat o stejnosměrnou složku signál

tak a tečka se podil podívat na pár

je těch komplexních exponenciál

který do u proti sobě

pryč že z letadlem

takže pár komplexních exponenciál který točí proti sobě

jedy co je k a krát n a

cekala krát n je na

k a omega jedna t

plus

ceká chrát e na mínus ill omega jedna tech

jel

tady je mínus ta děkuju

vjel chybí samozřejmě děkuju

ták

když terra

budou ty dva koeficient fi

kompletně sdružené

tak ho věk l jsem se u spěšně zapletl lo toho zase mám chtěl udělat

no tak prostě je myš store a v dohromady

tak je to

tak je to kosinusovka

k omega jedna t

plus

a teďka pozor zas ze sto má špatně až bude tam

kátý násobek základní kruhové frekvence

k a omega dna t

plus

fí k

taji tom o tohle mě můžete věřit

nebo nevěřit

samozřejmě lepší učiteli nikdy nevěřit

a l zkusi cit odvodit co mi takže jak na to v u jde mého

opět oblíbený vzoreček

kosinus alfa si rovna

e na je alfa prus na vím no si alfa

o meno dvěma

a že pod ne na ta

velká perioda

lomena dvěma

n na

k a

omyl a jedna t e

krát n a je

víka

los

co je k a

a menu dvěma

r na mínus i k za mino jednat e

krát které na

mínus i je

výkal

tak teďka poďme z detekovat věci které máme napsané nahoře

komplexně exponenciál by jsme značili červeně jak že se hýbou vegeta rito to

a toto

a ta druhá je tady toto

a tady toto

znamená ta je to sedí

a vtom případě

dostávám ten kátý koeficient

fourierovy řady

jako

amplitudu kosinusovky děleno dvěma

krát

n je na je a její počáteční fázi

a ten mínus koeficient

ta je toto

a toto bude

amplituda k osum stovky

krát

a je na mínus i je

fí k

do to že co je prosím vás důležité je vlastně že s toho páru komplexních

exponenciál se svými koeficienty mi k v koeficient fi který val if proti sobě

můžu poskládat jednu

bobby čejnou kosinusovku

skoro o byť

a ta je kosinusovka

bude me

a teďka si to

pod neudělat na druhou stranu

ta kosinusovka bude mít amplitudu

která bude dvakrát

absolutní hodnota

každého s těch dvou koeficientu

jejich absolutní hodnota musi být stejná jo proto živo nisou komplexně združený to znamená soudní

hodnota musí být stejn a

takže můžu klidně napsat

že to musí mít taky vlas absolutní hodnota

dva krát c e mínus kal

argument

počátečním fáze to je kosinusovky

musi mít argumentem

toho

kátého koeficientu

a musí být mínus z argumentem

tého mínus

kátého

grafice

l to že poskládám z r vo komplexních exponenciál u obyčejnou

jednu kosinus of

ta a mysim si že je čas na přestávku

po přestávce se vydáme dopočítá ani těch koeficientu ráj se mám tady dick a napsal

vidiš krásný vzoreček

ale vůbec netuším jak se k těm záhadným koeficient o ceká

dostaneme

pták od dle prosím do práce

butt budeme hloubat nut fourierovou řadou

d na do to zopakuju lože máme signál který je

vyjádřen

na kým součtem sou tam koeficientíky ceká

a show tam komplexní exponenciály aby zle zdary řekli tě teorie krásná a páry komplexních

exponenciál dělají s kosinusovky a tak dále a tak dále

ale vykat představte si jdi že někdo příde řekne on z do

tady máš nějak i

periodický signál

já vím

že má tady tuhletu

ryor du to je to tohle je t jedno

a teď prosím tě mně řekni

jaké sou koeficienty

co je k a

u pro

může z domu říc frekvenční analýza protože

vlastně ty koeficienty ceká code i by určily jít chování toho signálu na frekvencích na

omega jedna na krát omega jedná ta grave a tak dále

a teďka sme tázáni

abychom to jedi to

koeficientíky vy počíta

tak

jak na to půjdem

tou teďka bude takový zdlouhavý úvod

tri budem začínat možná nějak uplně ně pro vlas překvapivě

povim s i něco o systémech bází

a o promítání do bází

a o podobnosti

báze

pro mě budou lucky prostředek

vtom u jak se dá něco něčím popsat

a co je čemu podobné

tak ze zatím bo z vám žito tohle je kompletně fázi to sou tady fili

viklá na po jedné z chod jednoduché jeho ke složitější s

normálni sis ten souřadnic

dvě souřadnice x jedna

pích z dva

v asi znáte

mnich mám e na definovany vektor

který má je který mall dvě složky dvě a tři tak žila si ten vektor

klidně můžu takle namalovat o l dvojka to v trojka že lo

k tetě si dokážu nadefinovat ji vektory

pro ty báze znamená první má ze bude vektor i jedna nula

a druhá báze budet vektor nula jednal

a já se teďka ptám o jaké je vyjádření toho vektoru x chtěch dvou bázích

e ke má souřadnice bázi jedna o bázi dvě

k tak jak se todleto dělá

jel se to skalárním

součinem

za kdy musím vlastně

abych vypočítal nějakou služku

složku u

tak musíme vzít r

bázi

transponované ně

pak tou sim pro nás o vy stih vektorem

a to měr

složku nebo koeficient jste které bázi

tak jak se s děla

skalární součin víme

právně ták

do na mě má v a takovym ne slušným pohybem tak to dělá dobře

protože s téhle v n věci

were řádky s pravé věci bereme sloupce násobíme čí tam e

ja tak tady jasny že to bude jeden krát dvě plus nula klád krát tři

co vše dvojka

a dary to bude nula krát dvě poolu s jeden krás tří cože trojka takže

dostávám

koeficienty

těchto dvou

bázích dvě fa tři

tvé velké vítězství ale můžete mě řikat jejichž mane pro s op eden člověk dělá

když tam vo kus k víš napsány tady jet dvě a tři jich tak proč

jsme na to šli nějakým skalárním součin

tak u z na vám že ty k a to byl trivially šla

ale začne být v ú s

začne bit v ú s na příklad tady

protože

je mě vy teďka hrozně zajímalo

kolik sou souřadnice

toho

původního vektoru u to znamená dvě a tří

vtom to souřadném systemů

pili jsem tak trošku po točilo l a sem do něho vrazil v on se

otočil

a najednou máme složku b jedna

definovanou jako jedna lomeno v odmocnina ze dvou jedna lomeno v odmocnina ze dvou

a složka b dvě je definovaná jako

mínus v jedna lomeno osina ze dlou v jednoho meno mocnina ze du

ták

tetě e

abych zistilo s tomto novém souřadném systému

souřadnice toho svého vektoru tak zase udělám skalární součin

takže pro násobím no bla první jde tři celé padesát tři

dokážete set do jak i přestavit jako losně průměr průmět toho vektor o sen

tři celé padesát při

a ta druhá víde

jako nula cela

sedum set

o takže vidíte že jsem ně sou dělal v ze souřadným systémem

a pomocí skalárního součinu

jsem dokázal získat nové souřadnice nemu nové koeficient

ták teďko začne ho usnout eště v

r přestavte si že máme osmy rozměrný prostor k

no tak tady uznávám že to

push nepůjdem o z dobře nakreslit e do toho s mi rozměrného prostoru ani si

představit

a přesto o příde sadistický ušit l

a bure po vás chtít

abyste zjistili

souřadnice tohoto os mě rozměrného vektorů

při dva jedna nula jedna dva tři štyři

v well následujících slož k bázích nebo kordina tech

odmocnina z jedné ho s mini jedna jedn

a druhá báze bude definovaná f jich s v v jedna polovina krát kosinus dvě

pí lomeno osmi

v řikam nakreslit o nepůjde

co možná půjde tak jsi v vyplotnout takovéhle grafy

s jednotlivými z jednotlivými hodnotami

těch k tyhle k torů

a teď či

se vás začnu

se v zná jako začnu na je co ptát

tak jak moc

se tendleten vektor

podoba této bázi

jo kdybyste měli back o slovně

zhodnotit jak moc

se takova

takový véčko

podoba

plac a tým hodnotám nula celá třicet pět kterých je os ú

je to podobny jem on f

pack já bych že k vevi oko h ní že ne nevím

rock o pod obli to moc není

ale tak je to není uplně různý tak je třeba by tady mohli být nějaký

záporný hodnot je že tyto je nejsou

tady sou kladný

ray sou taky kladnej i tak ona to trošku podobný je ta z hrubá je

k wish se planu je státní rozpočet pak to v nějak víde

tak to vždycky taky nějak trochu podobny je tak

dobrý kdybysme to kdy ste to měli ohodnotit

ve u byste řek ho tak proch u podobne

teti je e

zkusme tell s tou druhou funkcí jedna polovina kosinu z dvě pí lomeno osmi n

ve kosinus protože už to umím s těmi diskrétními signály tak víme že to má

periodu osum to znamená will by to tak

del aby to tak o vále konk tyčka

a mě byte i zajímalo

jestli tady tohle a tahle

sou podobne

je to po dobry no vole

čert ví de a je abych ve že moc e protože tahle to tady tele

do vjede do

kladných hodnot

tady do záporných hodnot

takže pod meto slovně kvantifikovat teko

trochu podobne

a moc ne

k k a tyto prosím vás pod neudělat k poctivě

postě v je skalárním součin

skalární součin není nic jinýho než že vy násobným

jednotlivé prvky každý s každým a pak to celý sečtu

jo takže tady

na tomto obrázku

a vždycky násobení je dvou prvků to znamená vektor

krát báze děch je pořá taky osum

a když udělám třou mu

tak mi tady v de

pět celých

šedesát pět

tady jsem to vynásobil slow druhou bází udělám si sumu

a v de my dvě cele

štyrycet jedna

takže

vy čísla mě říkají něco o podobnosti

absolutně ho tom vůbec z nic nevím ale terry toto je podobné ně k

a tohle je po dobré me

no kvantifikován jsem to tu těmito dvěma

ty miter dvěma čí s

osmi rozu

prosím

labi znamenáš to není podobny

a ještě co by z na melou záporný číslu

to totiž může taky víc co by znamenalo vy bych dostal

mínus pět celých šedesát pit

j e to že té proti podobných že to je opačně že když prostě je

jedy jeden vektor denně k tak ten druhy d e na opačnou stran

tak

obecně

bjak oliv rozměrném prostoru

pokud máme

pokud mám ty báze

dane nějakých vektorech

v znamená tohleto ve entá báze

low takovým s louce u sloupcový

vektoru

pak má

ten vektor taky v nějakým sloupcovým vektoru samozřejmě jejich rozměry musi by k stejn i

tak koeficient ste které v a bázi

zistím prostě takže tu bázi přetočím že z ní udělám řádkově vektor

vynásobím to sloupcovým vektorem a dostanu jednu hodnotu

neboli skalár rip

tuhletu je dnů

ten irenko je pizzy

dyž jsem i ta š se dělat

po jednotlivých bázích taktu můžu dělat i dohromady

poznamená mám budu mít nějakou matic i

kde ty báze

budou naskládané v jednotlivých řádcích

pak budu mít

vektor

který bude sloupcový

well tenhleten rozměr samozřejmě musí sedět

s tímto rozměrem a vy dyž to spočítám tak dostanu

sloupcový vektor kdy bude mít tolik prvků koliky bází to znamená daji by to bolo

raz dva tři čtyři pět

tak to je to vode mít prostě

y a jedna y vola

při simon čtyři

a y

o to za na budeme si pamatovat

že promítání do nějaké báze určování

podobnosti se děje vždycky skalárním součin a

násobím sčítám

e jaké jsem báze

dobré

chceme zaprvé

aby když vyjádřím ten vektor v nějaké bázi

tak aby to ne ovlivňovalo hodnotu té druhé báze e o prostě ty báze by

měly poskytovat nějaké informativní hodnoty nějaké rozumné koeficienty

a pokud

prostě budeme mít s

z ba ten

dvě d vektorový prostor todle sou původní souřadnice

no tady bone nějaké čísílko ráj si vymyslí jednu bázi která bude takhle

a druhou bázi která bulle takhle

jsem blázen protože

pokud to číslo promítnu do jedné báze

do to je skoro stejny jako u dyž ho promítnu no té druhé bát e

jo takže

dostávám dvě

těžce

spolu související nebo těžce korelovaný hodnoty

tu si nechci

takže

tohle se mně nebude líbí ta budu osy lovat o to

aby ty báze buly pokor možno

pravoúhle

neboli ortogonální o ve dvě d ve tři de prostoru si ortogonálním báze dostaneme dokáže

představy

osmi rozměrným přes

prostoru kuš to tak dobře nedokážeme ale pořád o dokážeme zkontrolovat

dokáže to zkontrolovat a k

že mezi dvěma báze má uděláme skalární součin

a ber skalární součin musi výt nulový

lo schválně si pod meta k ve zkontrolovat i básničky ktere sme tady měli uplně

na začátku

wish udělam skalární součin

těhle dvou vektoru u

k v jedna nula

nula jedna

tak je to nula tak té dobrý

a když uděláme

skalární

součin tady těchto u kočičáku

znamená já si do prosím vás z označím nějak inak

jako třela a j ho vek to je toleto je a

ninu s a inak bych si upsal o ruku k smrti

tak tohleto je a

mýmu s a

vidíme že skalární součin bude

mínus a na druhou plus a na gnu jo

což i se nula takže tohle tou asi budou

ortogonální báze

dokážeme do prostě u moci skalního součinu

pře kontrol

tak

druhá

zajímavá nebo chtěná vlastnost je

a běty bál ze měli stejnou dynamiku

roto znamená asi bude docela ho vadí na

pokud budou mi zase nějaký prostor

a jedna má z bude tagle dlouhá a

a druhá v u je tak o vale

o potom vlastně k o numerický význam koeficientu všech to du

dvou bázích bude uplně jiný a u budeme muset násobit nějakým a kosice tom anebo

normalizovat nemožná škálovat rostě hrůza

to znamená budeme chtít

aby velikost

každého stě k bázových vektorů

byla jedničko what

k jak to zkontroluju prosím vás ve dvě d prostoru

jak můžu zkontrolovat ve dvě de prostoru

že je velikost s nějaké ba lze jedna

mí dobrý já bych to zkontroloval pravítkem

prostě jih z měříte

je to jedna neni to jedné tora s ně todle de jedna d

ve dvě

ze dvě de ve tři de

ve vícerozměrným prostoru by se to kontrolovali jak

takže spočítáte velikost vektoru

to asi by z n s

zvládli že jeho koluje to v je to druhá

odmocnina

první složka na druhou plus druhá složka na druhou plus dva mila bla

a she

poslední složka na druhou

v ho to že udělam e se normálně

výpočet velikosti vektoru

mu si to výt jedna

tak pokud sou tech tyhle dvě podmínky splněny to znamená pokud i báze sou na

sobe call my

všechny

v jedna druhou

a pokud mají velikost jedna tech hovoří ve ortonormální

systému

tak tohle sily se že pořa pořád eště pohodě a teď začne b rouge

stačilo ale jednička je takový pěkných číslo jak s snažíme se je do staticky v

by ledničky

teď pozor

signál

a báze

můžou být klidně funkce džud o bit klidně funkce včas e

ten část může být spojitý know může b diskrétní

wish ten čas bude diskrétní tak je to eště pořád obry o protože my si

vlastně přes tate si že máme nějakých diskrétní signál trim a dvě stě vzorků

pořád ještě

si ho můžu představit jako

dvě stě rozměrný vektor

po pořád eště de

tak ale nějak to bitka bude sim a funkce a prosím vás spojitý signály

spojitý bával ze

s my si to že to vůbec půjde

a o v blbé ale elle půjde

takže

od m na to

skalární součin ta v zase bude muset fungovat

a to s o sme tady vlastně

pořád viděli když sem dal skalární součin je že se ten signál nebo ten vektor

že se vzal

jeho elementy ne u jeho prvky se pro násobili z bází oba se to vše

skot sečetl

well to je tohle z neviděli u ho dědo to funguj

a teď s pozor ú těch signálu to budou plně stejně

budu násobit e z mlází

a back budu muset čítat a teď k pozor

když bude ten signál se spojitým časem

tak to sčítání budo muse probíhat pomocí integrálu protože nijaký na k spojitej signál ne

posčítám

a když to vode z diskrétním časem tak to budeme míst naší protože budeme normálně

psát číslá o trhneme sečte

ve že se teďka dáme tech l malé cvičení čemu je podobný kus kosinusovky

tohleto h kosinusovka

mám dojem že to byl of

normálně něco jako

kosinus

v jedna

lomeno

ne kosinu z dvě pí krát t

zněl lže jsem si na generoval kosinusovku

a tečce ptám o

jestli je tato kosinusovka podobná bázi

která je konstantní signál

první báze kterou taji studuju bude

b t rovná ste jedna

je to podobný nebo není

kus kosinusovky a

a placka

ve víly že mu z není terra takže

mojé a apriori odpověď e není tak se to podm s počít

po či tam to tak že pro násobím

bot po bodu

když něco násobím pořád jedničkou tak té dobrý protože znik nestejná vět

a ta rip toto záležitost s kterou sem získal po násobení teď i musím posčítat

a zhledem tom že to funkce včas e tak musim čí prod po musí integrál

no a pokud a rito to zintegrujeme

jak vidíme že tady tohle sou kladný částí integrálu toto je záporná část integrálu

takže na víde

nula

no a nula jsme si říkali tak indikuje že to není po do byly

po žel dobry jasem s intuitivně řikal že to není podobný vyšla nula cup r

pod ne null

r bude dle

kosinusovka

podobná

jiné kosinusovce

která

která třeba jako valí trošku rychle je rede stejně ale má dvakrát větší amplitudu

kdo ji podobná nebo ne

ve k jako malej člověk s je podobnej většinou

velkym ú flow věku

takže bude ve že říkam ano

poďme si zase ověřit jestli na tohle pravý pravých i skalární součin

vynásobím jedno funkci z druhou

dost ano

tenleten výsledek

všechny hodnoty jsou nut

kladnou ho sou

ne od kdybych si to chtělo udělat ručně tak tady tyto hodnoty překlopím takhle dolu

a získám

štve r s

kterym a rozměry jednak rád i jedna

s to znamená že

s ta deky jedna

je to podobny

l to s o sme intuitivně cítili vek na který počet ověř i super

jedeme dal

co takhle

se zeptat na dva krát rychlejší kosinus of

lo když ta báze bude definovaná jako dva krát kosinus štyři p t

wish to je štyři pít e a n dvě pí tede k push vím že

to tepe dvakrát rychlej

takže toto je

výsledek

poďme se zase vynásobit signál z bází

dostanu to ji tuhle tu funkci

zlá teď ti dyž se na to podíváme

ve zjišťují že tady budou kladný hodnoty

ne jurou záporný hodnoty navzájem se to vím idly

a dostavám nulu

takže odpověď e

není to podobny

do se to nějak

odpovídal

komus a sme čekali a teďka pozor

nepříjemný příklad

sestavme si že máme

že mám sinusovku

vám sinus dvě pí t

tahleta funkce

mám bázi

která jedna na jakou kosinusovka

no kosinus

v je pít e up tam se je to podobný nebo ne

tech bych to je řekl že shaw to je podobny kop funkce solu

k roste jiný n no sou vo kousek posunutý

podívejme se co nám udělá násobení

z bází

dala nám hladný hodnoty

záporný hodnoty

mysleli k nula

pošet b de

stě pro dvě podobny funkce sem dostal nulu

tvrdící že nejsou podobny co šedo celá nepříjemny

k takže k když budu mít vlastně

bázi

která bude dána kosinusovkou

tak bych k tomu eště potřebovali jednu další bázi která bude

sinusovka

až dycky promítat do obou

abych zjistil nech to terra vlastně je s ty ta mě nějaká podobnost nebo není

ku rom

a tohleto

k ovázaný na dalším

obrázku

touž s obojím

mám signál který je

si nous dvě pít e

mínus pí půl

no to je

telnet m graphic

a vo domy dvě báze

jedna je

kosinusovka

druhá je

si nos of

róza se jejich no sobení

jsou čte jsou následující

mínus nula celá padesá devět

která říka

že tahle ta kosinusovka

že tady tento vstup blast i s touto bází

podobný ale opačně

a s touto bází

v je to naopak tvrdí

že je to hodně podobny

no a celá los nesral i

lež dým případně ustal í cítíme že je to dna nepříjemný vlastě jako v analyzoval

sem jeden signál

a potřebuju k tomu já k kosinusovku

tak sinusovku

co byste teďka radili k

e k bych se taji tu dalo nějak rozlousknout

si se

zbavit nutnosti kosinusovky i sinusovky

ne je existuje nějaká funkce která bije také k o

zahrnovala obě dvě

tech s n terry jód ní povídali

ne jasně je existuje val komplexně exponenciále to co točil se bojíte tech si ho

pravdu stane

tak k

budeme si hrát

s kosinusovka má a n se sinusovka a

ale s komplexníma exponenciálama

terry jeho bsahují obě dvě

tak k s na vlastně hledali

hledali sme koeficient s nějaké bázi

tech měli jsme funkci i k ste

měli z ne bázi

a řekli

sme že ten koeficient

stě céčko

že to bure integrál

signálu

násobené ho

má z í

jo a úplně stejně to prosím bude fungovat se kytary u komplexní exponenciály

s jedním drobným problémem

a tím i tady ta hvězdička

pokud prostě hledám podobnost

nějakého signálu

s něčím komplexním

tak při výpočtu toho integrálu no ho při výpočtu tady toho

toho koeficientu nemůžu brát přímo

tu komplexní funkci nebol to komplexní číslo

ale musím brát jeho komplexně sdruženou hodnotu

poďme si to ukázat prosím vás z o takovém příkladu proče tady tohleto nutný

přestavte si

že z medy stav komplexní rovině

no tohle té reálna osa

no hle to ve imaginárního s a

e já vím že vlastně dvě bázové funkce pro mě

sou jedna

taji tohleto je jet školo

no prostě v vektor ktery ukazuje

a horu

a vy byste chtěli najít

průmět

komplexního čísla

přejí je

do těch do u bází

ták je

podm e

od n a to

první průmět

mu d

rock tu mámu značí takže to bude nula

tři

krát

jedna

nula

co řeč se rovna

kolik je průmět s toho čísla tři je

do jedničky

na k je hodnota tohodle k skalárního součinu

nula s ho lov logicky protože to číslo nema

já dnou reálnou složku

a jak i vybil průmět do toho je čkat a takže na se nula

tři

mula

jedna

tak počky telete chtěl jsem by chtěl jsem to v je s jsem to uplně

zvrtal

protože ta ryby nám dodalo tři že

no ne pro ming ráj sem do pode ta jsem do měl dělat jinak

to se totiž musí přímo násobit jako komplexní čísla takže průmět do té první ba

dot e

do této báze

absolutní hodnota

reálná složka

tři je

krát

hrát jedna

co šek kolik cože reálná složka stří je

a t nula

průměr do té druhé báze

v byla imaginární složka

za tři je krát je ja u se ušet o mu dostávám

z že kolik

no ho bacha kolik e tři k rádie král i je

nino s tři

jo takže vidíte že tady bych dostal mínus tři

jako hodnoty koeficientu

zatímco

chtěl očekával že to bude

do bude plus tři o prostě násobil jsem dvě komplexní čísla

a bohužel ty je čkat se navzájem potkali

a hodili mě zápornou hodnotu

znamená pokud budeme

vyšetřovat nějaké e v nějaké průměty

do komplexních čísel tak tomu ježků musím apriori dát opačné znaménko a vy mě to

potom vycházelo dobře jo a prosím vás proto jsi tady budou ráz nějakým e komplexním

exponenciála my

tak tady musí být vždycky

komplexní sdružení

no a

tetě e

dobře si trau dělam bázi

která bude komplexně exponenciál a já si s ní pro násobím a pro sčítám ten

s tvůj signál

a dostanu koeficient

z že příjemný na něm bude to

že ten koeficient bude komplexní

a že kdybych

tím koeficientem pro násobil jenom tu bázi

tak dostanu komplexní funkci co štěně o znelíbí protože já sem analyzoval reálnou a očekával

jsem žito bude rány

takže na to pujdu dekou fin tou já s je tady k té bázi přidám

ještě jednu je ji kamarádku

když sem tady tuhle označila k o b jedna tak terry tahle bude d mínus

jednal

ta půjde naopak

a koeficient který mě tady tahleta báze dál

tak bude zřejmě komplexně sdružených tomu con prvnímu a dyž tady tyhlety dvě věci sesadí

dohromady tak to bude zase pěkně real

tak a teďka se konečně dostáváme k tomu

včel musem vlastně colou dobu šel

de o to

z že mám

fourierovu řadu

danou co jakou x t

se rovnal suma

ceká chrát je na je k a

omega jedna t

nás edou na hod mínus nekonečna

tahleta funkce

to n a je k a omega jedna tetou vlastně pro nás bude jedna báze

do které chceme ten signál rozkládat

ráj se teďka ptám a

znám signál i k ste

prosím tě řekni mi jaký ja koeficient ceká který taji tomu odpoví d

a já podle tou mustr u kterých mass i bych k a vykládali vlastně by

mělo stačit vezmu ten signál

vezmu bázi

zhledem tomu terra že je to bohužel komplexní funkce taky musim komplexně z družit takže

jí vyměním znamínko tady

všecko to vynásobím

česko to z integruju a dostanu hodnotu koeficient

lo poďme si to

pod ne si to napsat

c k a

bude

integrál

i k ste krát h na ní mínus je k a

omega jedna t

podle čas

ták a

k teď prosím vás eště vy mě zajímalo

odkud dokud půjde ten integrál

kde budu mít interu

přesně jo a o máme perry dycky signál ve že musim jet přes jednu periodu

můžu si vybral k zase je to uplně dno může jet vod nula do t

jedna

nebo úvod mínus t jedna půl o to jedna půl je to uplně fu

stačí dyž se tady je po poznačím že jedu

přes jednu periodu

a eště prosím vás pozor uplně poslední v je sou toho integrálu

uvidíme

tohle to dělení vodíme tam jedna lomeno t jedno ty

proč to tam je

zda normalizace o ty kasy přestavte že sou signály

který můžou mít periodu dvě mikrosekundy

a s l také signály které můžou mi periodu rok

jala a by jsme

chtěli zjistit

jaký i jaká je velikost

ne hle té funkce

co shaw vlastně absolutní hodnota která se integruje přes tu jednu periodu

jaká je absolutní hodnota tice tohodle shle nám jeho si je k v omega dna

wish tady tohleto zavřel do absolutní hodnoty

calling dostanu

napoví je to číslo na jednotkové kružnici

tak je to jedna jo to znamená a integrujete jedničku u

budič

dvacet mikro sekund a nebo rok

halo zřejmě za dvacet mikro sekund o ho na integrujete málo za rok toho na

integrujete strašně moc

ale bez ne přitom chtěli aby ty báze dycky měli stejných rozměr stejný smysl takže

udělám to že výslednou hodnotu prostě podělím délkou ho antoš dycky

pěkně z normalizovaný pěkně srovnány

pře podíváme

nazpátek

tak tohle je ten slavný vzoreček pro výpočet koeficientu

fourierovy řady

a my sem že u něho to dneska můžeme je skončit

příště se budeme dál babrat zde fourierově řadě

ale prosím

ze zapomeňte na té ho že tím že promítá mě s o do bází takže

vlastně zjišťuju podobnost

řekl pěkný večer

Signály a systémy - přednáška 3.

2013

Jan "Honza" Černocký (Speech@FIT)