Přepis řeči - Signály a systémy - přednáška 5.

tak já my se že se baum alu dáme do práce

pro zahřátí na začátek dobrá zpráva

příští týden e půlsemestrálka

takže for opakuju

skupinám b já první hodinou přednášky ve středu čest flash sedn skupina by ba

poslední hodino přednášky vklá tech

přednášky vpád e k

de kde čtyrycet pět hash de se čtyřicet pět

informace veškeré zadá nízký k s minulých let jsou na webu k

a bude mnohé zkoušet o až do fourierově řady

včetně

povolené lenní nic kromě psacích potřeb

druhá za vlažná otázka kterou na vás mám jestli ste tejne viděli nahodou slona

protože

k tato židle je s klopená dopředu asi o dvacet stupeň u

a pružina která v nich je tak nefunguje regi mě zajímalo kdo ná ní se

dělem se mně šlo věk to nemohl být

ták

potom to organizační move o do

budeme pokračovat na programu dnes je dodělal ní for irovi transformace to bude v relativně

rychle

pak se budou věnovat poměrně objemné mu numerickému switche ní

debych projel konvoluci fourierovu řadu fourierovu transformaci

a by si že pak ešče ke konci přednášky

a že bude v uplně mrtvý dek stihnem a ta kovat systémy ze spojitým časem

cože nejméně oblíbena

část s

jí se sil bohužel potřebná

tak k poďme se prosím věnovat fourierově transformaci

jenom abych a to

rich fresh nuly od minulé

tak minule sem vám poví dál že fourierova transformace nám vlastně slouží

zase k nějakému rozsekání do

komplexních v exponenciála a tentokrát jakéhokoliv signálu takže nemusí vy periodicky

proto

ne můžeme říc že ten signál leží na nějaké určité frekvenci

a že bychom dostali v je hall koeficienty na nějakých násobcích k to frekvence prostě

den frekvenčního brat z bude všude

kde na

všech možných frekvencích

a ušlo nebudou žádné koeficient yale vodou to funkce

takže výstupu fourierovy transformace říkam at spektrální funkce

alebo taky zkráceně spektrum

ták i rom pro u zopakování

tak spektrální funkce se značí jako x j omega

proč s f t závorce obě u je zrovna jí j omega

a nejenom omega

o tam se možná neska dozvíme ke konci přednášky zatím to ber to jako fákt

jako jakou lock o

kali grafickou live úst ku jako že prostě slně líbí všady je tak si o

tam píšu

a ze signálu

m přechod do frekvence jed a následovně

mám samozřejmě signál

pak tam mám n na mínus i je něco

budo integrovat podle času

a tu mínus něčemu musím doplnit čas

a musil doplnit frekvenci

a tomle případě frekvence je libovolná takže tam bude

obyčeje ne jakékoliv omega

ač si je se spojitým časem takže tam budete a bude to takto jednoduché takže

toho l to v část

v let o je přechod s času do frekvence

a dyž potřebuje najít zpátky u znamená ukuchtit lze spektrální punkce opět signál včas e

tak to vod s o podobného taky musi mít vony mínus nekonečna no nekonečna

bude tam samozřejmě spektrálním funkce

bude tam n a plus něco

a bude integrovat pře ze všechny frekvence

a vy dycky když se budeme zabývat nějakym if fourierovy mi transformacemi jsem a tam

tak to něco

musí být úplně stejne když du včasu do frekvence když du

s frekvence zpátky do času až na znaménko k sama zřejmě

ve že s tomto případě za bure a na luhu s

je omegat e

a jediná v je s která nám tam k i v bude normalizační konstanta

jedna o meno dvě tvý no to že tell sou dva základní vzorečky

asti my si teď budeme chvilku pohrávat

minule

sme si to šimek o poslední bodce říkali

jak že to bude když who do transformovat

stejnosměrný signál

zjistili z m že

bude mi poměrně podivuhodnou spektrálních funkci ja

u let od diracův impulz který sedí se divný nule

a má mocnost dvě pí jí a je hodnot l nebo výchylka toho původního signálu

a pro sylva prosil jsem vás ať mě nevěříte protože byste dne měli důvěřovat někdy

stoprocentně svým učitelům

a ať si tell e zkusit e zkontrolovat

tu kontrolu sme provedli tak že sme tento signál narvali do zpětné fourierovy transformace

a zhledem tomu že je integrál v raková i pulzu ať ho násobí co chce

je vždycky jenom jedna

tak na to jist ahojte grálu vyšla jednička násobena dvě pí dělena dvě pí takže

z dvě pí nic nebude a vyšla s toho terry jenom konstanta a do takže

vlastně po zpětné transformaci k vyšel stejnosměrný signál kterým a hodnotu a té zhruba to

s o sme chtěli že ověřeno

potvrzeno super

r e pak jsme sem začali věnovat tomu

jak vypadá

periodický signál zapsaný pomocí fourierovy řady

když ho douglas trčím do fourierovy

transformace

a tam

mezi still i že na to bude ve

muset í it po kouscích

levym i si z ne to minule rozdělali nebo ne ale

každém případě

ve zdem případě to uděla bradě ji znova

to trošku osvěžíme

ták

bude nás zajímat vlastně teďka spektrální analýza

periodického signálu

chcem z í prý licky signál strčit ho do fourierovy transformace

ale dobroš ku divné protože u jsme

dělali fourierovu řadu takže už no vlastně jednu tu fourierovu transformaci

udělali a tečka bych vrtěl on nacpat do druhé z akce

taková družku záhada cosco z e s tím vlastní provede

ale podm s i

t zkusit

proch u osvětlit

ono totiž add zatím je to jenom takové teoretické hraní ja led rušim že f

příští hodině

na z bude čekan vzorkování

a tam zjistíme že něco takového budem docela potřebovat a byzme vysvětlil it co se

děje su spekter když vzorkuj m

jo takže u kolem je

vzít takovýhle tady je licky signál

rozepsaný pomoci fourierovy řady a na spat ho no fourierovy transformace

zkusim e sou děla takovou

malou přípravu

ně by

hrozně zajímalo

dyž mám

spektrální funkci

i psi j omega

která bude

rovna

dvě pí ní

dýra kovovým pulzu

který nesedí na

frekvenci

nul ale sedí někde

nějaké

nějakého určité hodnotě frekvence pro to znamená a sem teďka

nakreslil

spektrálních funkci která vypadala následovně tohleto je diracův impulz

n mámo cennost

dvě pí

sedí si je to někde na frekvenci omega nula

tady tohle je tam zřejmě spektrální funkce leaks i j omega tohleto je omega

tak ně by zajímalo i jí jak t téhleté spektrální funkci

pud odpovídat signál

co myslíte

když sme té

diracův impulz před chvilkou měli takhle v nule

tak to bylo celo

to byl stejnosměrný signál žel kterym konstanta ford

patch celého posunuli

z nuly někam jinam

na frekvenci omega nula

a teď že k o když ú

to nedáme z hlavy

co tomu asi tak bude odpovídat za signál

tak se vám s dva zkusim zeptat na pár dotěrných otázek myslíte si že ten

signál tory odpovídat

tou mu dle spektru bude reálný

slyšim to je odpovědi žhne bude jak to

push jsme si zvykli že aby se z nějakého spektra dal poskládat reálný signál teto

spektrum u si být

symetrické že o musi byt symetrické

modulech musi byt proti symetrické

ve fázích stary tady mám jenom je vy jenom reální hodnoty

takže a bitem signál mohl bit reálný ta bych tady pěkně musel na druhé straně

vydě svítit

ještě jeden diracův impulz ktery tam není

takže dal syn ale rozhodně bude

komplexní žel o ad teti vy mě

v a malou když komplexní tak jak komplexy to myslíte

prožité že to tak asi bude

odkryl budete komplexně exponenciál s ně vek poďme pod ne sich lilo

za počítat

a zistí v že do budou pravdu komplexně exponenciál zkusim e přít na to jak

r o

takže

otázka je sova tomu

odpovídá

za signál

co v a eště můžete dopsat herdek krucinálfagot non swot or

l takže x t

bude null bitka zasedne m a začnem samozřejmě psát vzoreček pro zpětnou fourierovu transformaci že

vo jinak inak to nepude tak život

jednala dvě pijí integrujeme od mínus nekonečna do nekonečna

k teďka tam budou dvě pijí delta on liga mínus omega nula krát e n

je na plus je omegat e

d omega no takže přepsal jsem normálně definiční vzoreček zpětné fourierovy transformace a strčil jsem

tam náš signál

tady vidíme je kolik příjemných věci

jako že se

p taji navzájem

vykrátí add obry

a zbyde nám a

vlastně ja komplexní exponenciála

která bacha která detach funkcí frekvence nikoliv času

která si tak nule

vklidu

roto je pral lama v a je s netuší

a ta j pro násobena s tím červeným posunutý diracovým impulze

a jak víme tech diracovým puls s jako v a naprosto nemilosrdně

ony ta kdy kill ne

tady kill ne

a tady zní nechá vo uzly jednu jedinou hodnotu místě kde na ježí a touto

hodnotou dobro sim vynásobí

l a ta jediná hodnota která na tady zbyde

jej samozřejmě dána

kruhovou frekvenci kde leží diracův impulz

s takže v on budem e na jednou hodnotu

e n

na je omega nula t

a toto bude jedná jediná jeho hodnota ná když potom takovýhle diracův impulz pře integrujeme

hod mínus nekonečna

lo nekonečna

tak se z vira kola jim polu zůstane jenom tato jedna jediná hodnota

takže nemůžeme přál teko výsledek

že to je e na

omega nula

jo co vše

komplexní exponenciála

jedna jediná

která

točí

na frekvenci

omega nula

a teď že v r proč sem tady tohleto se l dělal o tady tu

tady tuto e

tuto manipulaci

my se hrozně zajímáme vo tenle vzoreček

o toho co je vlastně spekter m

takového hlédl rozepsán o signálu do fourierovy

do fourierovy řady

no takže java ne hon teďka

zkusím říct

že vlastně takovýhle signál zamřeme

a dá se nějak zajisti davy zmizel ze odry rámeček jo dobry k

je takovýhle signál zavřeme no fourierovy transformace

a zkusim e si říc co je to z čilá l on dick a ukazu

několik o uzel

tohle za černí

tohle zač r ním

takže ty kal ne fourier u transformaci pouze ze signálu r na je

omega jedna t

s o

ta fourierova transformace je

rito dle

vřed sil com sme zjistili že to bude diracův impulz takže

delta

který sedí

ná

kruhové frekvenci

omega jedna čelo to sto sme si pře celko ukázali žito mu tak jet

ale teďka prosím vás začnu postupně odmazávat

jednotlivých

jedno b v černý polička

s or s co když čí do není frekvence

omega jedna

ale je to její

k násobek

tola pišu sem taky l tak nad jede del by b vy si u si

znějí nástroj svory

takže

tentokrát nesedím na omega jedna lez sedím na kal násobku mega jedna

pohodě

co když ta komplexní exponenciála je násobená nějaký komplexním číslem

takým koeficientem

tak to normálně vynásobíme taky napravo jo prostě fourierova transformace

je lineární takže když něčím násobím stub

tak můžu klidně tím sami násobit výstup takže co

zas a se nástroj

takže cokl

no abych k jako posledně je strašnej trik je

wish tam těch komplexních exponenciál nebude jedná

alou bude jich tam v s nebo třela nekonečno ho který budou valit pro různý

hodnoty k a když otma žil

to je to sumu tak teď co

lo protom přidám sumu ji na druhou stranu že jo

a nebudu mít enom jeden diracův impulz násobený jedním koeficient í k o logon omit

spoustu diracových impulzu

o posouvá ných na různých frekvence

my násobených různými

různej my

koeficient ti

s k a k teď by mě zajímal s i sem dam eště jsou zapomněl

určitě sem na mě se zapomněl

jel tam je tam chyba

majko liga v lassale kutnu protože a vy chod soli ostatně u vych pře mišo

čas rozhodně ne e

zde spektru nemá čast co dělat

lilo pozor té e pro spektru

je z o zem vám zapomněla schválně při ten a to co

za ho dyž když sme bádali

na tým

na tou předchozí věcí

tak ja send a měl hodnotu dvě pí která byla u toho ready raka namalovaná

a ta dvě pí mě tam někde vypadla po cestě

a pozor e kone půjde to bez ní l tak že

eště ta rýmu rumu se do dělát

je to je dvě pí

krát

příslušná hodnota koeficientu

fourierovy řady

krát v irák na posouván e na určitou na určitou frekvenci

lo takže když sem přepne bo tom zpátky tomu ref to vypadá ray samozřejmě sem

to zase dělal nějak trochu jinak moc matematicky

protože jsem se potřeboval echo utvrdit s tam že dokážu sázet rovnice v late chovu

ták výsledkem

je skutečně sada

po posouvány jich diracových impulsů

nichž každý jed násobený jí hodnotou

dvě pí krát původní koeficient fourierovy rady v je p krátce k a

takový mali příkládek

bysme měli

třeba

kosinusovku normálně harmonicky signál

kterým měl ale

je který měl fourierovu řadu

pouze

o dvou koeficientech co jednička

c mínus jednička

aby jsme si to úplně utvrdily tak si ty koeficienty bych ně napíšem

nebo nakreslíme

lo tohle to byl

dva frekvence omega jedna hled oba mínus a mega jedna

toto byli

moduly koeficientů fourierovy rady argumenty koeficientů fourier je tady

a koeficienty měli hodnotu

půl amplitudy

a poolu amplitudy takže pavle to byla hodnota

se jedna

děleno dvěma

a jejich argumenty měli hodnotu

počátečním fáze way kosinusovky

mínus počátečním fáze kosínů se

o tohle byla

jí jedna a tohleto bola mínus fí jedna

do byste ta chtěli napsat matematicky patch netají taky dělali

před nějakou dobou ta chce jednička byla amplituda půl krát n na je c jedna

ad co je mínus jeníčka byla

toto veš krát

e na mínus i je fí jedna

jo a já jsem bych ta vzal

signál který je takhle zapsaný pomoci jí dvou koeficient du fourierovy řady a dvou komplexních

exponenciál

strčil o sem ho do fourierovy transformace

fourierova transformace vyplivla něco velice podobné a

lo ale pozor prosím vás na to případě

push se nemůže jednak o koeficienty musí

musí se jednat o funkci která je definovaná všudé prof šesky frekvence

takže je to vlastně tak o wald poměrně zajímala funkce která je všude nulova

akorá zní na frekvenci mínusem ega jedna leze jeden diracův impulz tady zní leze druhy

diracův impulz

leone konečně úzký nekonečně vysoký nekonečně vošklivý

a ten první

má

hodnotu u

která je dvě pí ní

krát

hodnota toho na ného koeficientu

když dvě pí takt eur dvě pí krát t jedná lomeno dvěma v znamená mu

dolu bude p krát úvodní amplituda

no o doly mu do u samozřejmě

stejný

a f argumentech

taky nechci žádny koeficienty ale chci tam funkci tak to funkce která

vlastně všude nulova a pouze pro tuto hodnotu na s toho leze

hodnota mínus fí jedna a to je s toho leze musí jedna

zásadě já bych ú to je argumentové funkce

jsi mohlo vymyslet jí jakýkoliv jiný průběh

ne o pokud bych will šílenec

tak si vymyslím třela něco takovýho

a u de to pořád fungovat jak to

protože tam kde sou na kde je nulová hodnota argumentu

tak si je můžu na myslet naprosto libovolnou fázi

a je to stejně úplně jedno lo minule sem vám vykal že pokud máte jed

nulu tak s ní může to točit a všecky strany a pořád o bude nula

a e

pouze vlastně

pro mínus kruhovou frekvenci

a plus kruhovou frekvenci se musim trefit do hodnot plus fí jedna

mínus v jedna

o to

takže

kone stáj toho hraní s periodickým signál

zatím vám možná jako nebude moci jasný pro sme ta jej tu hled

tuhle se l hraní dělali ale je

když budeme vzorkovat

tak ilovi už m

ták

pod nevo kousek dál

mum obdélníkový impuls

který

je definován následovně

a lom spočí tady ho fourierovu transformaci

a viď jelikož

obdélníkových impulzů není nikdy do host

tak si zase i tady tuhle práci bod neudělat pet no udělat ručně s

jo takže

toto je obdélníkovým puls a já chcu spočítat jeho foto

když počítám foto l zas led no

a napíšem si definiční vzoreček

který štol je

od mínus nekonečna do nekonečna x t

r na mínus i je omegat e

odle času

víš ho do pišu začnu přemýšlet

je potřeba integrovat od mínus nekonečna do nekonečna

není protože ten signál má rozumné limity tar i

pro um mínus polovin o svého trvání a plus polovin o svého trvá ni

a před tím a potom není potřeba si pře obtěžovat že

takže stačí když změníme vymy ty integrace hoc mínus t a je ta půl u

not head za půl tak a dyška jak bude vtom hle intervalů vypadat signál

v jednoduše konstanta placka no

placka o hodnotě d

která ú eště navíc můžu

dvě ji i vypudit

před integrál

a v indy grálu z by d jenom de na mínus i je

omegat e lete

co š super e protože sme si tady odvodili šoupl všem mass to v u

pomůcku

a tu teď velice z výhodou v jeho žijeme šedes to a pomůcka zněla když

vám v určitý integrál vod mínus built do byl

de je r na plus a nebo u mínus

je x y

a teti kde nevím podle čeho mysem že bodle y

tak ho můžu k vypočítané k od dvě b krát kardinální c nulu s

b x

neod

tohleto no

se dá bot odvodit dělali jsme to zdary

nebo si taji wed najdete

takže já zjistím že ta vše by stova pomůcka

krásně půjde aplikovat

na můj case

co bude co

byl bude asi ten at a půl že jo

y bude asi čas

a x bude zbytek

a vy tech pouze omega takže x se rovná lega

takže co my s toho vychází je d

krát dva krát

chtěl a head a půl

prát kardinální sínus

takže ta půl chrát omega

drobná úprava

that hřeje ta

karmy já ní sínus

co je ta poolu

která tom je děla

o to

že mám vlastně předpis s na to jak bude vypadat

spektrální funkce

ta spektrální funci nám vyšla jenom

reálná

je to je to dobrý je to vpořádku

jak to že to je vpořádku o proč n komplexních dyž

stavu ta je do v z ječel komplexní čísla

protože anal protože d signály jen ale ne pravé straně stejnej neboli jsi metrické ji

neboli s udej

takže bych měl dostat reálnou spektrální funci

dobrý pětce o dvě možnosti boot tady tuto spektrální funkci vezmete

nasypete do ní skutečný konstanty je to znamená kolik je d kolik je to je

pak

na střelíte nějaký interval frekvencí ve kterým budete vykreslovat

a zavoláte si matlat sem vo gnuplot s nebo excel nevo tvůj oblíbený matematický software

a ten to udělá za vás

tady pojedeme samozřejmě ho se tou tvrdnou c ta trní tou cestou budeme kreslit ručně

tak když ročně

tak tohle ú bude omega

tady bude

absolutních hodnot a

ze spektrální funuse a v eur argument ze spektrální funkce

no a u c

v začnu taky že

tady uzří

funkci kardinální sínus

a když někde vidím kardinální sinus tak jsi o prostě

namaluju

ho op

tak dále

tak proč myslíte že sem dam ty záporný

části udělal tečkovaně

protože to má bit absolutní hodnot l takže absolutní hodnoty by neměly být záporný

takže to ji to s kladní ta je to ve kiss kladní

ná meto pryč at r to neruší no jo ale jak té daří ste že

ty hodnoty vlastně měli být zápor ne ta si budu muset nějak vyjádřit argumentem žel

takže argumentu komplexních čísel

když je to reálny a je to kladný tak je to nula

a pokud to bude záporný tak by bylo dobré tam dot hodnotu bůčku plus pí

a nebo mínus pí

můžeme si zvolit ale já by chtěl poprosit ty co vide do to vozvou

aby se uklidňuje nebo aby odešli třebová do s to štyri je stop jednou na

chodbu velet of a k hrozny v do vlna k ten a se na mě

valík i když a mikrofon k

to nepříjemny jako

fájn na druhé straně pro zápor mít číslá zase s v estetických důvodu ale mínus

pí může mu si tam dot plus pí r ho prus jedenást p je to

uplně dna

ták m

poslední dvě věci oppidu vání té funkce

kolik má mít stary jako maximální hodnotu

no two konstantu která sedí vedle kardiální hosín ono to ž d prát r at

a r ta funkce taky musí pro se káva s nebo do tykat se

vytoč to v osy

a tady zase

bude dobrý zjisti d kde

když si to ne po motem přesně tak si řeknem aha funkce kardinální sínus tak

jako normální c nous v tady toto provede poprvé pro hodnotu pí

ták si řeknu

a je ta

poolu omega rovná se p a s toho patřičnou omegu

vypočítám

prak to bude dvě pí

lomeno

ta takže tenhleten styk

je pro dvě pí lomeno t h ta

najedou ref štyri p lomena t a je ta

šest vijó no t je tell a

a to je del ad eldr a samozřejmě patřičné záporné hodnoty

ně něhož kedy fí lomeno teta a to de a tede a tede

tak a teďka prosím vás i uvědomíme že když n dělali koeficienty fourierovy řady

tak sme obli patch teprve ve dvou třetinách krátce

o protože to všechna bylo tečkovaně

byla to nějaká pomocná funkce

a já jsem bo to musel vzít rotační kulomet a na střílet s postu pomocnou

funkci

správné hodnoty koeficientů na správná místa

rotační kulomet zteč nechá mili skříni

ve tě prostě

písem flavor s

a toto

je výsledek

no tahleta funkce je definovaná pro všecky kruhový frekvence

je výsledek

a my sme právě

z robili

spektrální funkci

pravoúhlého

impulzu

no ho to

tak

led ne se podívat zpátky s tou no vás mám dál

zpětný obraz obdélníkové spektrální funkce a

no to budem lek i zach luku potřebovat

takže tohle už možná vezmem prošků rychlej

můžeme dostat se následující um call

přída někdo řekne

ráje tě dál a ho spektru mínus

omega a

konečná do plus o mega konečná

a má to voly kost z o

vypočítej i mě jaký tomu odpovídá signál

takže vy řeknete

obře

za sednete

napíšete si vzoreček pro zpětnou fourierovu transformaci

a pojedete úplně podle stejného mustr u jako před chvilkou ja to znamená asi nemá

sennou integrovat vod mínus nekonečna do nekonečna žilo takže budete integrovat jenam

vocuď pod souť k

tomuto

limitu

bude hodnota té spektrální funkce konstanta takže ho jo tohle vám můžete klidně vypudit

před integrál s

a z ú staré one

nějak a konstanta h lomeno dvě pí

krát e integrál ohod minus a modra co do omega cell tady a je s

tohodle výrazu

něj samozřejmě

disponujeme

vše bezstavovou pomůckou

takže

kardinální si nos

ve i k

takže po dosazujeme

push to ji nebudou detailně dělat

a po dosazeni dostaneme a sledující

dvojky se vykrátí dostaneme

well krátko mega cell lomeno pí

krát

kardinální sínus

omegat se

čas

rady null ní sínus tam ne případě

má bit signálu to znamená nebudeme se obtěžovat

jakým rozkreslen váním do absolutní hodnoty ja argumentu vidíme že je to krásně je krásně

reálny

tak tady mám před kreslený deko v kardinální c nos

a budu chtít jenom jedno jedinou věc po vás a to abyste mě poradili s

nějakými z nějakými hodnotami daji na tech křivce

takže hodnota maxima je kolik

to co je před psince mže lo tar i to je tohle

takže h krát omega co

v lomeno pí

o by to chtělo zjistit kde bude přát enum e ten bot

a abych ho z i still tak

uděláme zase starou dobrou fin tou omegat selb to

se musí rovnat í

takže čas prof ste lito ta nastane je pí lomeno

omega cell v r t může napsat že to je čas p máme no omega

todleto buje dvě pí lomeno omega cell a tede

a tede a zeptat e do a sem hotovi

teď si vás zeptam eště na tři věci

co dyž té signál zvětšíte l pro ste

co se stane retra pardon i když s budem zvětšovat spektrální funkci když ten

štern obdelníček nebude

veliký hlédl

ale

bude hodně hell

co se stane ze signálem

zvětší se

co šasi je vpohodě je o tak by to mělo být

co jo když ten signál

rozšířím když omega co

se posune tagle

tak první věc e řekněte mi o velikosti toho signálu pět m bude většinou menší

bacha vlach a velikost signál o teta

ne stejn a

větší se zvětší se

musí se zvětšit protože já vlastně přidávám energii do spekter takže s tím signálem se

musí ječel něco s o stát l com z větší se

a co jehož e s k a co she scott o

hlavního laloku

tá se zmenší o a to odpovídá prod jezme říkali licky dyž bude jako

širší věc

na jedné straně

tak jet druhá strana částem o frekvence tomu odpovídá proti reakcí

takže tady sto zúží to znamenal

signál

z větším poměrem vyšších frekvencí

no širším obdélník kari

bude

na straně času užší

a to odpovídala lose nám říkal že když f čase ně sou she ho tak

to dycky vybudí strašný by n s v ve vysokých frekvencích takže

dobry funguje ta

oko k

nějaké poučky

o spektrech a ktery lických signál

první

svatá poučka je samozřejmě linearita

takže když e je nějaký signál x a v r má svoji spektrální funkci

pak je nějaký knee signály k z b tema tak ty svoji spektrální funkci

tak pokud arity to dva signály na mixu jeme

s konstantami a b

tak můžu

na mixovat

původní spektrální funkce

sečíst

a je to

za druhé e

bude v řešit posunuti včas e

wish ten původní signál zpozdím

o nějaký část a u

tak dost ano

u podílu půdní spektrálních funkci

a ale

násobenou

já k o

funkcí e na mínus i je omega tell

a za chylku se na to podíváme detail ně jenom bych chtěl poprosit a vy

ste přemýšleli

zda tady tahleta funkce po umění

absolutní hodnoty nebo fáze nebo obojí

jo prosím zapřemýšlejte

za další

dyž budem měnit časové měřítko

tak zase můžeme použít tu původní spektrální funkci

ale je dojde tam

ke změně která vlastně půjde

proti té proti změně jich rusem udělal včas e

a konečně

pokud ú

budeme mít včas e konvoluci duhou signálů

konvoluce je

v že s kterou nikdo nemá rád že lo blbej se musí řešit pomoci

konvolučního

integrálu

tak

tady to bude vpohodě protože části

spektrální

bude stačit když udělám obyčejné násobení

pro všechny frekvence tich dvou spektrálních funkci

a máme a val ho to

tak pojme ty card některým těm boušk detailně

zkusíme zkusim nějaké posunutí jeho

budeme mít takovýhle

takových l obdelníkový signál

který d volt mínus dvojky

n do dvojky

před pilkou sme sil atari

analyzovali dal jsem takovýhle krásnej obrázek

vy still i z m že jeho argumentové spektrum

bude vypadat následovně

pro čet dary hodnota zrovna pí půl inu proto že by to mělo být

dvě pí

momen a ta je ta

a h ta nebo liší skla impulz o dary štyři

takže dvě pí lomeno štyř má k

rovná pí půl o tam

v a krát e půl tři krát e půl pate de a tede

mame ty nakreslený jenom argumentových spektru

a teď k prosím e

ú zkusím

zpozdit

when povodní signál

o jednu sekundu

takže

no plným pulzy k trochu zatlačím do zprava

a bude z něho něco podobné

v pouč klamy tvrdí

že to nové spektrum

x nové

je omega

bude x stár

je o may a

krát e l na mínus je omega ta u

kde tall u

je posunutí včas e

takže

mém případě to bla jedna

jedna vteřina no teger bych vlastně měl

namalovat nové spektrum

které vode to stare krát e na mínus i je omega

no klidně vině do z i smála z u

tak a zhledem to může se jedna

o násobení dvou komplexních čísel nebol

dvou komplexních funkcí jestli chcete

tak můžu klidně si to roze psát domu dolu

a argumentu takže r tou h s moduly

modul

x nové

co bude rovnat modul x tá r

krát modul

e na mínus jet mega

a takže je prosím vás řekněte kolik je modul je na měl si je omega

jedna l o to sou čísílka které jílu leží na jednotkové kružnici

jednička

takže s noho poučením plyne

že moduly

se nezmění

e f to bitka bude s argumenty

víš se násobí komplexní čísla s o sedě laser woman tam a

čítá jí s

takže argument

x nové

se rovná

argument

staré

lullus

argument

e na mínus i je omega

a prosím jaký je argument

z l funkce e na mínus i je omega

za už byste pomalu měli vyjet že když mám dekou funci napsano vek o n

a je něco

tak argument s této funkce

je to něco a není dam vopravdu žádna další magie

argument stary

terra bude

mínus o mega

za to že atari

složitý zápis můžu klidně s má z note

a říci že ten nový argument vůli ten stal í argument

mínus o omega

no a l

udělat

sou účet

takovéhle funk se

a funk se mínus e omega

vy nemuselo bits tak

tak složité

u sime si to tady pěkně root čeho

z že ja mám tady ten k úvodní argument

vyčte mám funkcí mínus omega e k bude vypadat mínus omegat

bude to přímka žil v a bude s kopečka nám rok opička

kores kopečka a řekou ku de směrnici s kopečka

mean v námi řek mínus jedna l prostě pude z s kopečka ne směrnicí mínus

jedna

takže

musim

tam nahodit nějaké dva nebo

pár bodů abych se trefil

no a nachytal jsem z i pár bodu

ta kresleni funkce mýho s a mega taktech ta udělám copper o rovnou king ú

tak tohle tele cestně lineární funkce minus a mega

a abych to they dal dohromady ji tak prostě pro každou frekvenci hodnot it těchto

dvou funkcí

sečtu well tam kde mám původní argument nula

tak tour e jednoduchý ji probe že vo maluju to novou

tady byl původní argument

plus pí takže mi to dá a plus pí mínus pí půl tedy plus pí

půl tak bych měl by někde tady

ray sem byl nim s píplo spi tak bych měl skonči někde tady

v až asi takhle

pak dary mám nulo to znamená pokračuju

tímto způsobem

tady se dost ano jsem

a pokračuju v dál ad to do a té do jo a

jsi že eště udělám jednu čáru z d a z bych tom nechat ješte sete

mít pěknej vek třeba si ta je tyhlety šály může back ve propojit svislým e

svislými

abyste věděli

návaznost raw takže toto je nova s funkce

argumentů spektrální funkce toho posunut l signál

podobně jako u fourierovy zady

měli jsme posun signál du prava mě vezme zpoždění tohle případě vezmeme velikou palici a

praštíme strašně

do pravé části

to e fázové charakteristiky a u nás n a tak ve sklopí

no kdyby tam bylo předběhnu ti doleva

tak palici přesuneme a praštíme dole ve části a na se na vyklop í

jelo tohle je

tohle je příklad co by to udělalo kdybych měl předběhnutí

vo jednu vteřinu

tak a ktery mum nějaký příklad změny časového měřítka

tatry má

na se pravoúhlým půl s

který je široký

dvě vteřiny e obalí what mínus jedničky do jedničky

cham e

takovouhle

spektrální funkci

dva jenom podm s i to pro počítat

nahoře tady má by do hodnota

d krát ta je ta

co šije

výška i pulzu de a jehož e s k a

a tady tato hodnota by měl by v dvě pí lomeno t h je ta

co šije dvě pí lomeno dvěma

tak t p ne o to že vidíme že ta spektrální funkce asi bude v

dobře spočítaná

a teď k prosíme vezmeme ten impulz

a něco mu děla ne s časem

co sem

mu provedl

čase

při krát sil zpomalil

takže ať při je e

a k máme to značení trochu vpořádku

řekněme že benn nový jsem n v cela y

takže já jsem ukuchtil signál y t

jako

ad co tam byt null napsat za časovou modifikaci

tento je třetin že ho t lomeno třema

až tam a nějaká konstanta a která byla jedna třetina

no a já teďka vím že bych měl

spektrální funkci

jeho mega

počítat jako

a ty doufám že to nám dobře jedna lomeno a

krát

omega

lomeno a

rest lito nám no v dávam dobře to zora kolků vidí

no to znamená že pokud a je jedna třetina

tak by to mělo bejt

při krát

omega

pak tři to nakreslím

lo znamená velikost by se měla příkrá zvětšit push to nebude no dvě do o

ale šest del obry

a r je šířka oproti tom původnímu

wish sem omegu vynásobil tří krát

tak bych se ta spektrální funkce měla třikrát zrychlit žel takže šířka bude tři krát

menší

tím pádem nad i najedu od notu p

lomeno třemi

a na druhé straně bude mínus pí lomena třemi

jo a vzhledem to může se jedná pořád opravou uhlím pulzy vek by bylo dobry

si to rito to ověřit s i ze si sme to udělali dobře

výška za sem malá se to rovnat de krát h je ta

ta je tamle tom případě šest

takže to je šest de

o k

todleto je vpohodě

a první průsek

sort nulou

má být pravo

frekvenci

vy je p máme no h ta

mojem případě je th ta šest takže to bude

vy pí lomeno šesti takže pí lomeno třema

tak je to dobry

znamená zdá sešt arita poučka o modifikaci časů i f se projeví ve spektru

na zafunguje

tá s

poslední věci je jak je to z jak je to s tím spektrem konvoluce

dokážeme do vlastně

udělat tank že

si řekneme jak

když k ty skon nulu what do dva signály

x jednat e

hvězdička i v z dvat e

tak to potřebu zapsat nějakým konvolučním integrál n to znamená a

vezmeme tempo luční integrál

a opravdu ho napíšeme a pokud chci udělat spektrum

on evoluce

tak to potom o balím

eště jedním

a ještě r a mínus i je omegat co schmidt vlastně zařídí

fourierovu transformaci

a pase tam tady tyhlety dva integrály můžou nějak

po prohazovat

a cull je příjemné je že dostanu vlastně

spektrální funkci v ho druhého signálu

krát tento integrál

tam i sice vyměněna hodnota

téčko za ta u

ale pořád je to normálně obyčejný ski definičním té grál

fourierovy transformace takže na konci vlastně a ověřen e že spektrum konvoluce

je uplně prach obyčejné násobení původních

spektrálních funkcí

co se nějak i příkládek je ktery tohleto může za fungovat

máme

jeden

pravo uhlím půl z í check

kterym šířku dvě velikost nula celá osum

a má

takovoule spektrální funci před fíly z may terry vydě

pak mám druhý

pro vo uhlím půl s

stejně široký ale který je veliký jenam nula celá šest

no terry tuto

spektrální k nic i

a teď má mých konvoluci

dokážeme e

bo u chápem proč má zrovna

konvoluce dvou

dvou pravou lích i budu tvar tak prvová nika necháte mne dob dobře till ste

nechal pece protože a se splň můžu otevři tady ten u k tu úžasnou mašinku

ták

fi lucy za konvoluuje e

ták ten první signál byl

od mínus ledničky do jedničky

k měl velikost nula sela osum

a cen druhý signál

byl stejně široký

a měl l

velikost jenom nula celá šest

a konvoluce

je zapsána

ku y t se rovná

integrál vod mínus nekonečna dojedl bylo nekonečna x jedna

tá lovu prát x dvě

té e

mínus tá ho u

podle ta u to znamená pro každý počítaný čast e

musim vlastně si definovat nějakou pomoc nám času u osu

jeden signál tam plácnout

tak k byl předtím lesním ni z nedělat

třeba tady tenhleten

druhej signál tam plácnout

obrácenou přes u osou pětka provádím o praci přechod sta u do mínus ta u

pak ho

náležitý způsobem posunout

podle té právě počítané hodnoty to

a bo tomu sim všechno vynásobit

a všechno zintegrovat prno to je to proto není vidět omlouvá s

takže si

připravím

obrázek s pro výsledek

or none bude to chtít

z ú

z um aut

roto že tohoto bude to

to jo ve toho vůle

hodnota výsledného signálu y trhl

a proč nezačít zrovna nulovým bodem

chtěl teďka jsem v nule teď spočítám x jedna ta u

krát jích z dvě

nula

mínus trau o

wish tady ty signály ji přeplácnou pře sebe

tak vidím že spolu naprosto nádherně sedí to znamená na pokud je vynásobím pro všechny

možné hodnoty

ta u

tak to bude zase

pravo uhlí signál

který sta mule

případě budo mít hodnotu

nula celá čtyřicet osum ne prostě jedn byly kosti se vynásobí není vtom ně syn

í ho nula celá šest k ram no celá osum je v a celá štyrycet

osu

a teď to vono muset pointegrovat

šířka toho signálu je dvě

takže integrálem ně dvakrát nula celá štyrycet osum slož aspoň doufám je

nula celá devadesát čest byl dost ano hodnotu nula celá devadesát čest

počítal jsem jednu hodnotu

no a teď si přestavte co se stane když pustím čas

dyž půjdu třebas času nula do

do kladných časů

do ten

se ji null i k z dva t minus tá huse začnem po molu vedle

posouvat

a pro každý jednotlivý čas bych sem měl za stavy

vynásobit ty dva signály

a spoj integrovat enom že je jsem e to samozřejmě strašně hlíny

takže já zistím že je když dojedu do jedničky

tak se překrývají tak akorát půlky a když dojedu do

wish d duda času dvě

tak se právě přestali překrývat

známe na pro čas dvě

co dostal hodnotu nula

a zhledem k tomu

že pokud se takhle na sobě posouvají

tak se prostě postupně a lineárně zmenšuje ta plocha kterou se překrývají tak si dovol

inte je nakresli takou pěknou čáru

tram bude ta do vo dva body spojovat pro když potom ode du eště dál

ta kuše za fin í to a ušli nikdy nepře kryjou takže tady bude

navěky věku

nula

pokud pojedu do záporných časů tak zase

pro mínus jedničku se překrývají s půlky

pro mínus dvojku se právě přestali překrývat uplně

nezi tím doplním

jak to zhruba vypadá a když pod udál u za polo ta kuš nikdy nic

nebude

takže može nakreslit je co takové

no takže

opravdu konvoluce těchto dvou signálů je

její je

ku jít trojúhelníček

no a tetin čí když někdo požádá abych

spočítal

spektrální funkci takového trojuhelník u

tak to můžu butt děl dělat k podle definice

to znamená říci si

obře

je to uděláno

z nějakých dvou lineárních funkcí tak ty lineární funkce ú zamřel u dalo definičního vztahu

pro fourierovu transformaci

aulu půldne integrovat

a nebo na to půjdu odlez řeknu si h

ná jsem měl ty dva komponentní signály ktere sem potom s konvoluováno lo a u

každého z nich se měl bys pozici í jeho vo spektrální funk si

poučka pravý

že když tady konvoluce

jak sem chtěl na tou v raz evku čmárat normální propiskou řího pro z ho

back

takže když je tady konvoluce

tak tady bude normální násobení

by násobíte tyto dvě funkce

kladné částí se potkají s kladnými to znamená budou kladné

jo hodnota jedna celá šest krát jedna celá dvě vám dá maximální hodnotu jedno celá

devadesát dva

z kruhovou frekvencí p

sou záporné hodnoty

krát záporné hodnoty cože zajímavý protože na to dál zase zpátky kladné hodnoty jde o

ta ritou rows a se kladné krát kladné drže zasekla dne a to de a

todl a pro záporné frekvence to bude s totéž

pro takže docela zajímavé že dostaneme

vlastně

podobně vypadající

spektrální funkci ale která vode mít pouze

kladné

od no ty

ták

o slední záležitost r a na s čeká tady u v u fourierovy transformace je

jak se dívat dna energii

signálu který je vlastně převedený

to spektra

well jestli se

pamatuje tele tak u fourierovy řady

sme ten signál o kázali rozhodit do koeficientů fourierovy řady a pak sme se pak

nás hrozně zajímaly ho střední výkon

dál to tady zkusim zopakovat ne střední výkon

u se ju mu signálu periodického

na j lee stoly boot jako jedna lomeno t krát integrál

přes jednu periodu x t

absolutní hodnotě a druhou d t

a nebo

jako s ú má

a byli dam absolutní hodnoty koeficientu

fourierovy řady na druh o

no a tetě i k když jsme v o

de fourierovy je transformaci vek se může no buku si to podobnou hrádku

říci tak tečkách a nebude žádny střední výkon

ale zkusím celkovou energii

celková energie signálu je

x na druhou

podle času integruju vod mínus nevidím až do pust nevidí

co to uděla když se to pokusím vyjádřit ve spektru

a terry je takova

fin ti čkat že pokud se ho to pokusíme

tak můžeme vlastně jeden s těch

signálu můžem sto přepsané k o i k ste krátkých ste

a jeden z nich můžeme přepsali jako zpětnou

po derou transformaci pady nám to dá nějakou práci při úpravě s

ale nakonec z dostaneme to celkovou energii

jako integrál hod mínus nekonečna do nekonečna

kde je

hodnota spektrální funkce

a pak je tam hodnota spektrální funkce

na mínus

kruhové frekvence

děláte tím bychom

po mohli nechat story vtom to stavu

akorát si můžeme uvědomit i že

pro reálné signály když mám spektrální funkci

tak ona by měla být komplexně zrušená pro kladnou a pro zápornou

frekvenci a zkuste mě prosím vás teďka říct

wish mám n nějaký číslo a

komplexního bug mum a s hvězdičkou ktery je k tu původnímu komplexně sdružen i co

ze stane když e vynásobí v už děla a krát a z hvězdičkou

no eště jednou

mám komplexní rovině někde

komplexní číslo a

pak mám jeho kamoš ale

komplexně sdruženého a s hvězdičkou a já se ptám co u vznikne když udělám a

krát a z bezdičkou

bacha vechtr o vy součet na ne na ne to jede ráj násobí milo n

s čí tam pozor na ta

byli to rám ne číslo e k to že jak to proč

štěch no

pozor s tím skládání vektor a tory teba chabé podobnou chybo uši dal tady váš

kolega které je chtěl sčítat jeho ale já dně zajímá násobení

tajle byste dnu zda si k tom došel taky ale já nejsem dvou hill tak

bystrý tak já jsi to dycky udělam takže ty dvě čísla

rozloží a modul argument jo

dary mám nějaký číslo který je

který má modul

takhle

a argument málně co

z a to druhý číslo má modul stejny

adem argument je mínus něco

jo a když nás o by mě komplexní čísla tak moduly a soby jim

argumenty čítá ne

takže tenhleten ne výpočet my vlastně ná a

modul toho původního komplexního čísla na druhou

a ty dva argumenty se navzájem vybijou

protože je tam plus něco a mínus něco

vy že sečtou tady dostanu nulu

to znamená

reálné číslo

které je

modul

no ho původního komplexního čísla na druhou

jo mimochodem k když budete třeba v matlabu počíta s nějakými komplexními čísly

a budete po cíl potřebovat hodnotou komplexního čísla na druhou

k tak to můžete udělat tagle

a basl a

no cele

na druhou

a nebo

pomůžete zařídit jako a krát

sony jo nako

konjugovaná hodnot nasa

a ten druhy výpočet e mnohem rychlejší

dobrý takže je no sme si řekli že pokud terra v budem mým mít s

komplexní číslo a komplexně sdružené číslo tak kdy že vynásobíme tak dostanu něco reálného

a přesně tak

prosím ně definovaná funkce která semene

spektrální hustota energie

sta vlastně zíka že to je modul e spektrální funkce na druhou a ještě tomek

í si dvě pí

a vy po to můžeme říc že vlastně celková energie toho signálu

je integrál téhleté spektrální hustotu jich energie

pro všechny frekvence od mínus nekonečna až do nekonečno

a je docela dobrý že do spektrálního hustota energie tady je normálně samozřejmě nakreslit

no protože třeba pro pravoúhlej signál od bych se měl kardinální sínus

tak si může to tu křivku vzít na druhou

a je docela zajímavý že je když si potom člověk spočítá kolik tance energie kde

vlastně je

tak vy byste řekli že k tomletom

hlavním laloku tory v leží what mínus

dvě pí lomeno t ta

do dvě pí lomeno t je ta

v leží devadesát procent veškeré energie toho signálu

no co šedo sela zajímavý protože by byste měli třel opravu uhlí signál

děch trim byste chtěli nabíjet naši elektrickou motorku

ták vám bude stačit co

na přenos

energie

nějaký kanál ktery bude poměrně tvrdě dvoře závad frekvence

ta s ně propustí pro spustí vám ten signál n a odtud

potud

a if tomto případě do té vaši a motorky dostanete devadesát procent regi je kterou

nese ten původním

pro vohlej signál

zbytek může to využit na topení třeba

ták m

jestli si že neuzavřeli fourierovu

ran formaci

sim že časná za sou ženou přestávku

ták podm od nese prosím

usadit

lov oka nadechnout

a přejdeme k pár příkladům ktere mám nachystané ná konvoluci fourierovu řadou fourierovu transformaci

no a f

značném asi hned jedničkou žel takže

přiklad první

on evoluce z diskrétním časem

co udány dva signály

zadání jedna duchem k mám je

k má mies konvoluováno chce

na to využil tady pen

tou žasne kreslítko

u dele si pamatovat že ten první signály dvojka pro cen proč asi nula jedna

dva tři

a druhý signály je

ninu se jednička

nula

jednička

tak doporučil si push předem takhle natrhnout papír

fa udělat si na něm

stejně široké opravu du doporučil stejně široké chlívky

do těch leaf ku

si na začátek dat ceva hodnoto z počítadla n

které může ji střevo holt mínus dva výnos jedna nula jedna dvě při

štyři a třeba ji pět

pak si vyplníme signál

h dvě n

dobro signál k který byl

moment chla tam mám teak se na a h n ono tak dobře

tak h n

bude

mínus jedna

nula a mínus i jedna

vyplňováním děch ostatní chlívečků se ne musite obtěžovat tam budou prostě nuly

a x e n ktery ten první signál

měl hodnoty

do v dva za ty leč asi dva v val

a naši mu kolem e ty signály s konvoluováno ti

chci prosím připomene

že

konvoluční suma o zalez ne

diskrétních signálek takže tady bude pro vo luční suma

sepsal jako

krát h

n mínus k a

a k a probíhal úvod mínus nekonečna v nekonečna

je taky dobrý si tam iště možná jednou zopakovat i hodnoty n

abysme věděli pro co vlastně dick a počítáme že nula jedna dva si čtyři cat

pasy dam udělat z řády check pro výsledek to y n

je výsledných i

signál a před

jestli to je na jedu jakou fixu

volam bo obtáhnu černou fik sou neko že to j

té prostě volno tady budeme dávat výsledky

tak

jak naimplementovat tu konvoluční sumu

bude to velmi jednoduché napřed zaměním časové pro mě ne tak ž

po škrkám káčko

po škrkám

která po škrkám no a nahradím ho káčkem l tom no při bias m

vyrobil ze signálu x n signa these k a

a ani to ne dolu řádnou práci

zle h n s m že robil h k

to ale eště pořád nestačí já z něho musim bylo bit h mínus k a

a ty s té ho a stává ta

pravá magie

kdy rán

teďka

a mu dispozici signál a mínus kal

a připočítá nic z něho eště budu dělat h n e mínus k to znamená

budu holt šum áčkem posouvat

do čísla příslušného vzorku n

ty i budou uteč právě počíta

v edge vo nebudu chylku posouvat niká

protože udělám na ho výstupní hodnotu upsilon n

y nula jo prom nulový čas

a celek o uzle je vtom že musim vypočítat hodnoty

setra vynásobit hodnoty které sedí nace bo u

a pak všecko sečíst

tady jsou ty hodnot jenom dvě je to hrozně no duchy

takže dva krást mínus jedna výsledek mínus dvě

hotovo šmitec

teď budu počítat čas

e ne se rovná jedna

takže

push nebude h mínus k a ale h jedna vínu s k žít té ať

počítám

dva krát mínus jedna plus v a krát nula

to je pořád mi nos dvě

počítám n e se rovná dvě

žít

dostávám dvakrát mínus jedna

tam a ale nějakou botu že jeden s těch z arku měl bit musi jedna

s a teda

kterej

ve ten u led e

o vám se to je tehle té měl by plus jedna na štěsti co to

deště po řad neprojevilo ta chyba až teď by byl problém

takže dvakrát změnu s jedna co u mínus dvě

plus dvě v hromady nula

počítam n e se rovná tři

žít

to sami

plus dvě mínus dvě nula

m srovná štyři žít

n dva krát jedna

takže půl z dvě

n se rovná pět žijí

dvakrát

plus jedna z dvě

a pak push prosím můžu tady s tím signálem posouvat hash

a should na palackého vrch a ušlej budou pořád jenom

sami nuly lo takže konvoluce těchto dvou signálu z diskrétním časem

vypadá následovně turky mínus dva mínus dva nula v a dva

ví to že

u není nějak složit e

mu si to jenom jeden signál ostřihnout

převrátit

včas e s ta si pozor na to abyste za rovnaly pěkně nulový vzorky sobě

a potom inom vždycky posunete vynásobíte

po sčítáte

u pull semestrální zkoušky je povoleno trhat

a může do s jako pomůcky donést

nůžky

skalpel

lovecký nůžku

a tajil ale nesmí by popsaný tahákem prosila

ták e je další příklad

si příklad druhý konvoluce se spojitým časem takže vyzkoušíme sněz l což před chvílí

první signály je dvojka

bot minu z dvou do dvou

druhý signál

nebo

impulsní odezva systému budiž je mínus tři

vod jedničky do jedné

a mám i je navzájem s konvolvovat

chtěl

zkus to se prosím vás podívat na to jim pulzní odezvu a říci my

v jestli si stem bude kauzální tedy jestli bude vydě do budoucna nebo l

uvidíme možná vrch l u ku hash se začne konvolvovat do za tu za povíme

a je tuto otázku také ho chod mezi by signál my

na mohlo what

lo zase prosím doporučuju ač ill

si před podtrhnete s

zkus papíru

s tím bach tu s tím pak budete otáčet a posouvat

ták ten první signál

jo a aště taky dobry mít stejný měřítka zhruba ji ne klan to nevy hi

neví de

je dvojka odch minus dvou do dvou

leje třás

i ste

tah a je čas mínus dva

a tam je ten signál dvojkový

a jinde

je nulový

na pak mám signál lhát e

kterýžto je

ste true no je v a to j

a ten má hodnotu v ní mínus tři

od nuly

do jedné

takže

s tomhletom intervalu a jinak nulový tell tohle je časy jedna

tak naším úkolům je prosím teď ty dva

signály

s konvolvovat

rock to provedeme

on vole ční to ji null zase y t se rovná integrálu vod mínus nekonečna

do nekonečna

tá v u krát a

čte mínus ta u

de tall

takže podobně jako předcházejícím případě si nakreslíme do u před kreslim obrázek províst u

čas

todleto bude y t

a holy by z ne z dam udělat nějaké časové značky třeba

dvě

a mínus dvě

jedna

a mínus jedna

a dečka zač n přitesána what chyb signály tak aby ten je integrál všeho spočítat

v první záležitost je že se zbavím

téčka

a vy vyměním ho za taut

tá vo

x k aut jo to že tight n

první záležitost

mám hotovou vyřízeno

z druhým signál

taky zabiju téčko

udělam znějí tá u

ale teď sem vyrobil zatím e nomha ta u

a já potřebuju h mínus ta u to že strašný trik

vtom hled

okamžiku jsem dostál h

mínus ta u

a zatím tam není žádne časové posunutí ho žádny čas nebo té se rovna nula

takže tomletom případě

vlastně počítám

tá v u chrát h a

nula

mínus ta u p ho to je to co

to co mám teďka nastaven e

no a tam kde se ty dva signály překryjí tak je vynásobím

a tu výslednou funkci

včas e potom z integruju

jo takže podnes i ukázat co to uděla

v tady nic protože zout i same nuly tede ještě pořá taky nic to dře

jsou tady samé nuly

a štve proved

včas e

mínus jedna

začne něco dělat

hodnot toho signálu dam bude dva

krát mínus tři

suše mínus šest

a půjde to až do nuly

roto že tam

to potom op je zdech ne

atari u show samé nuly takže ten na součin po k už bude no vždy

nulo vy

takže k tomle případě na to tady nakreslim enom

docela maloučko aby bylo vidět s co sem dostal

dostal jsem vlastně k a u

tome to je hodnota mínus jedna

signál který a

velikost

mínus šest

a ten signál musim zintegrovat od mínus nekonečna no nekonečna a viď i to že

to není

nic strašně složitý hall protože integrály kolik

mínus šest

ta k titr s no vám s ú sem si od

zbudila toho jinak neznam nevejde

takže tady bude hodnota mínus šest

a toto sem prosím dostál

proč s nula takže

tuhle hodnoto sem pec počítal

a de k asi po jedné říct

kde eště

bude hodnota

výstupu mínus šest

wish budu s timhle obdélníčkem posouvat až do mínus

jedničky

tak se ti dva kluci pořád plně překrývají

a pořád bude integra mínus šest l takže můžu jezdit mezi nulou a mínus jedničkou

pořád o stenu mínus šest

dál můžu jezdit mezi nulou a dvojkou

a pořád se plně překrývají a pořa dostanu mínus šest

znamená já tu hodnotu mínus šest klidně můžu protáhnout

od mínus jedničky až do dvojky

protože tam to bude dycky házet uplně stejnou hodnotu

a tečce podivná pod u po dívat co se stane když vyjedu kousek za

wish vědu z r vojku tak ony se budou překrývat míní a míní a míní

a v mý v

ač tady

proč s tři

se přech ste know překrývat uplně

no to znamená pro hodnotu tři

tady asi kdo jde

totálnímu v zdechnutí výsledného signálu

a to ví zdechá vání bude samozřejmě lineárním protože

n dvě den signál odru v jo

postupně pro sou vám takže dostanu asi

je s o takového o dyž budo posouvat pak dále a dále a dál ne

až na pola chuck

tak dyž to budou navždy samé nuly

když u

budu čase mínus i jedna

a pojedu do ještě zápornější včasů

tak tady už bude menší překryv menší překryv menší překryv uplně mají k i překryv

teďka žádný překryv

takže když dojedl do času mínus dva

tak zase

se už nepřekrývá vůbec nic

tím pádem se nic nemůže na integrovat

a tím pádem dostanu

nulo

a ty dvě hodnoty se můžu spojit vinárně

nějak tagle

tak

toto je prosím

výsledná

konvoluce

těchto dvou signál

vidíme že když sme konvolvovaný s takovým pravoúhlým impulzem

takže nám to vlastně srazilo hraný toho původního signálu

jo měli jsme

na začátku sme měli takovýhle obdélník

s ostrými hranami peťu šnej mám obdélník lety hrany do u o stupně dolů i

otop postupně

a čas n zistím náš se budeme třela zabývat nějakými filtry

že vždycky když mám filtr o ktery má konstantní impulsní odezvu

atari tenleten í měl jo pros typu u určitý čas od no tu mínus šest

tak si do bude chovat jako rozmazává či hran

k o vlastně v it průměr o vám ať

několik annu mnoha časů

a vždycky za tomu původnímu signálu srazí hrany k

teď myš mimochodem toho strašně moc zvíme i ho fourierově transformaci

kdybyste srovnali spektrum taji tohodle signálu

a tohoto

co byste měl o nich řekli

které z nich

bude mít větší podíl vyšších frekvencí

chtěl nebur to ta je dělat jenom taková k o otázka

investigativní

n t lete signa

a tenhle

který z nich by měl širší spektrum

tep ten a hoře o protož na má o strych rany jak měl někde ostrá

hnána

tak dostanete neskutečně široký spektrum

boot mimochodem

do ta i hraje na elektrickou kytaru

super tak co vám dělal emitter

ze sign ale když

o nastavit e tajka by vám s ku sinusovky jeho z nějakého pěkného u kulatého

signálu

dělal vlastně limit oval aby ho nahoře za řez val na com statí hodnotu

co my si to že to děla

vlasně z dam generuje ostrý hrany jo protože tak jak k a struna kmitá tak

jako nikdy nemůže změnit svoji polohu

za nekonečně krátkou dobu

ale tím že tu kosinusovku nebo nějaký podobně kulatý signál zaříznete

tak tam děláte blesku rychlý přechody

a ty blesk o rychlý přechody v a právě generují vyšší frekvence

k takže potom ten zvuk

koje z bohatší

zkreslené nějž í vkus trsy třeba

nějakým soust volný ja nevím bold way nebo cool edit nebo v f s r

fér nebo cokoliv

a dejte si daně ho takovy dle signál s kytary japak ten původní

a podívete se mého spektrum

retro sela zajímavý

ták pojďme zpátky do příkladů

fourierova řada

harmonického signál

na harmonický signál

a ten má nás lovící parametry amplitudu de se

frekvenci jeden kiloherc

podstrč teční fázi

pí lomeno osmi radiánu

a mum za u call určit koeficienty fourierovy řady

nakreslit spektrum

a nakreslit signál a komplexní exponenciály ve kterých se skládá nosového k a proč a

k tak

na za asi mu tohohle

udělam ručně hal u další hall

si po mužům de míčkem

a na kolegy k anně oka

které je na webu

ták mám určit koeficienty fourierovy řady

která je zapsaná v tímto

vzorečkem

u tohoto příkladu si to uděláme tak k se to vopravdu dělal naplno takže žádná

zjednodušení

jediná věc kterou k tomu potřebuju je že je kosinus nějakého v úhlu alfa se

dá zapsat deko r na je alfa

plus e na mínus i je alfa

o meno dvěma

no a když takový signál

zapíšu

tak

to zkusim podle tohoto vzorečku rozložit takže nejprve si ho opíšu s konkretní ne parametry

k co jedna je deset kosinus

ecca bude kruhová frekvence

d že vobyč n stá frekvence jeden pilo her

jo a tak do tech ronova bys to mělo násobit dvěma pí

ne o tak k tak dva tisíce p no

v a tisíce p t

plus

t o meno osmi

o a teď zkusím tady tento vzoreček zpracovat

pomocí té ho tomu stru

a za stano

pět

chrát

e ne

na je

v a tisíce

víte

plus pí lomeno s my

plus pět r na mínus i je

v a tisíce pít e

lullus p

a meno osmi

tak ve dick a sem s pusy moc separovat mrtvé částí a živé části nut

ve části jsou konstanty živé závisí na čase

takže pět n na je

pí lomeno osmi

krát na je ve tisíce pít e

plus

pět krát h na

mínus i je pí lomeno osmi

e na mínus i je

v a tisíce pít e

jo a eště si prosím vás poznačím že ta o kruhová frekvence

omega je v a tisíce p

null ty se podívam za jiho ten vzor s ktery je obecně napsaný pro všechny

možné hodnoty k

a řeknu si aha

ony tam vy koeficienty asi budou jenom dva

všeho ty komplexně exponenciály budou tak jenom dvě

a zhledem tou můžeté huby činná sinusovka vek kam osy bude no ten první koeficient

a mínus první koeficient takže schválně vám tady ten složitě ádský vzorec

napíšu podtón jenom pro tyhle dva koeficienty c e mínus jedna

krát eden a

r pardon

c jedna krát e den a je

jeden krát

základní kruhová frekvence krát e cože dva tisíce p

mluvu s

c mínus jednal sát je na

mínus s

fí jedenkrát

v a tisíce pít e

no a teď vidíme

že

tyhlety funkce včas e sou stejne

to znamená že to co sedí vedle nich

nemůže být nic jiného než hledané koeficienty

fourierovy řady a takže velky výsledek

s fun fára mi je se jedna se rovná pět krát e na mínus i

pí lomeno osmi

c mínus jedna se do v na pět krát na

plus je pí lomeno osmi

kontrola tyhle dva koeficienty vy měli být komplexně sdružen e sou

ano sou moduly maji stejne argumenty maji navopak

nakreslete spektrum jedy mu doly a argumenty koeficientu

ne dobry

od oliv prvním obrázku

argumenty ve druhém každém případě je tam

kruhová frekvence omega tohle sou mu doly ceká tohle budou argumenty cely ta

první leží na

v a tisíce p

druhy leží na k

výnos dva tisíce p

první jí ho absolutní hodnota je pět mínus prvního

tak i pět

prvního argument je

pí lomeno osmi

a druhýho argument je

mínus lee lomeno osmi

o to vo

štědrá bych lom tam z mu co ho napsat že

je to je pětka l

no a pravá legrace v příde teďko drže jsem na sebe vymyslel

že vám ty dvě komplexní exponenciály nakreslit

a že mám ukázat jak se zních krásně s kláda

ta původní kosinusovka

k se připravte na výtvarné pekl otec

když koch kreslit komplexní exponenciály vek dobře takže

sim si udělat

reálnou osu

imaginárního su

a časovou osu

a tohle ještě jednou

tak zast na frič u raze jet o to

kreslící ho programů

ták teď bych s je měl namalovat hodnoty ze kterých budu startovat

včas e nula

a když

vrazím no do času mnul a

dočti do čas open nulu u

tak zistím že tady mám a n a je nula

reje taky e na mínus i je nula to znamená tohleto jeníčka

tohleto je

tak jednička

takže včas e nula bych vlastně měl odstartovat

přímo z hodnot je dvou koeficientů fourierovy řady

no tak si je nakreslím ten první je e

pět n a je

pí lomeno osum

a druhý je pět e na mínus ill v mono

osum

nino spi lomeno s um se

no takže se na k si dvě pětkové brambory

well normálně bych řek o jednotková kružnice ale

z o to nebude jednotková kružnice dobu je pět ková kružnice do to že mu

si mi poloměr pět

a kružnici v životě nedám od ruky tak to bude brambora

tak e

jejich poloměry je pět

a ten první k první koeficient má by jít n a je pí lomeno osmi

znamená že

půlkruh je p

čtvrt kruh e je pí půl a eště dno v a rozdělit na štyri díly

tech dobry v no

takže a dva k

poolu je takový zvrácený budí chcete vo

tá ta k

ta kuš sem prosím našel polohy děch dvou koeficientu tohleto je c jednička

a toto je

c mínus jeníčka

no a tetě bych si eště mohl zkusit udělat

v vlastně jako

obry ste trup kile které bych se mně ho pohybovat

a po z odveď pouštím čas

a s koeficientu c jedna vyro zing vyrazím kam

proti směru know po směru hodinových ručiček

macha po směru ne

proti směru jo aut do jo tím ně komplexně exponenciála

s kladnýma mohla má musí balit takhle

a dosti a záporným a u hlavá musí balit takhle takže jak vyrážím

fi dva dna teču vo

mění

s k a

ostalo mně co nos tam je s o takového a ste druhé s toho druhého

koeficientu vyrážím na opačnou stranu

a dost a mně co

něco takového

líp to bohužel neum i

takže toto sou ony dvě komplexní exponenciály

teď ně prosím vás řekněte zách

jak dlouho

každá těch s těch komplexních exponenciál udělá jednu otočku

co jet c ta je todleto za čas

ne já bit ovit jedna perioda že o koliv to bude

jedna lomeno f

a f s bylo jeden kilo r s

l kruhová frekvence bla dva tisíce pít e

buď ti dva tisíce p takže buďto rosta no jako dvě pí lomeno dva tisíce

p n e příjemny a nebo jako jedna lomeno tisíc jedna lomeno kiloherc u i

pádem by tady toto měla být jedna

milisekunda takže jedna otočka z o jednu kde sekundu

no a teď sem si ještě na sobil z vy myslel

že mám ukázat dek se tady ty dvě

komplexní exponenciály skládají do kosinusovky lnou zdar tak

dobře no

takže tohleto je časová osa l

atari mám vlasně vem původní signál teak ste

z jaké hodnoty prosím

budu startovat jaká bude hodnota toho signálu pro čas nula

tak pozor

kdybych tam neměl žádné přes točení

kdyby byla fáze nulová tech budu startovat vosel ať

a vodsaď že lo v a krát pět rovná se deset

jenomže

já mám tu reálnou složku trošku menší

hale mum trochu menší číslo ne špejle tu

a trochu menší číslo nech pět to znamená

dostála ve výsledku trochu menší číslo než deset

takže

kosinusovka se bude pohybovat někde

tady

samozřejmě mezi desítkou a mínus desítkou

ale já startuj u o trochu menšího čísla

teče prosím

když pustim čas

tak ta hodnota kosinusovky pude dolu nebo nahoru

zkusme si uvědomit

co dělá reálná složka těch dvou kuliček

když pustím čas

lo tady jsem začal točit proti směru hodinových ručiček

to znamená já lezu vlastně do imaginární she hodnot

a reálnou složku stahuju

a tady lezu do mínus í imaginární she hodnota reálnou složku beky stahuju to znamená

mě ta křivka začne lézt

dolů

no a včas chce jedna milisekunda bych měl v udělat akorát jednu periodu v znamená

měl bych se ocitnout zde

tany nudou luhu u

dali

vy mě udělam jem mu periodu a po to skonči nějak

nějak tagle takže

dostavám

zhruba rakou hle kosinusovku

jsi to je v až e děti ve školce by to zvládli líp a l

co by mě zajímalo prosím jej a se mi dostal

jakou oproti standardně kosinusovce předběhnu tou nebo zpožděnou

oproti normální po tu kosinusovce best počáteční fáze je tady tadleta předběhnu tá nebo zpožděna

přeběhnu tá a je to dobře

a od s kusy medik a udělat e hry v jen s na začátek tou

příkladu

ráj sem měl analyzovat kosinusovku

která v měla počáteční fázi pí lomeno osmi radián kladnou počáteční fázi

takže by vopravdu měla být

předběhnu ta

tím bych k toho asi nechal

vidíte že opravdu jako vod roky jsem se pokusil že dvě komplexní exponenciála vy složit

nějak zhruba se do povedlo kdybyste z do chtěli uděl přes něj doporučuju de míč

k o

na strance

jses o

jo takže jet splnily jsme za dáni

mám koeficienty fourierovy řady nakreslil sem si je

a pak jsem s toho ten při k null dokonce lo opravdu na skládal

teďka e

reálný periodický signál

a následující koeficienty fourierovy řady

c jedna

nebo

takže další příklad ho

tohleto sou koeficienty for řev reálného

harry lidského signál

zapište ho pomocí kosinus oleg

na sim vás předtím eště zeptam jestli náhodou mi tam nějaký koeficienty nechybí

signál je

real my

před přesně z k chyby ji mě tam c mínus jednička

která vábit komplexně sdružená c jednička dek ního prosím rovnu nadiktují t

modul stejnej že argument opačné jej

a chyby mi tá c dvojka

která by zase měla být komplexně sdružená c mínus dvojka

tak to n zase v mu důl stejné jej

argument

opačném i l

a teď to mám zapsat pomocí kosinusovek koly tam děch kosinusovek bude

dvě správně nicky pár koeficientů vaří jednu kosinusovku

a teď prosím vás š to udělam trochu zkráceně

když s dvou koeficientu fourierovy řady skládám kosinusovku

tak její amplituda

bude jak jsou viset řez modula matek dvou koeficient

krát vlád přesně tak to znamená absolutně nota koeficientu krát dva a ji budeš když

budu chtít e počáteční fázi té kosinusovky tak dej najdu

no a of argumentu nebo f exponentu je toho h k a ale u kterýho

koeficientu toho kladný hon evou záporný ho

u toho kladný ho přesně také ho takže pokud podm eset a napsat

takže amplituda

bude

dva krát

up s

hodnota koeficientu

a počáteční fáze

bude

argument

toho kladné ho

l co mně chybí k tomu abych definoval kosinusovku dešti její frekvence žel

tak lence frekvenci s tím jak

dřík a si uvědomíme že koeficient c jedna

sedí na základní kruhové frekvenci c dvojka na dvojnásob cut se trojka ná pro nás

tech šla tak dál a tak dále to znamená že to bude vlastně k h

násob nebo když už to piš o tady best su v best nějakejch koeficientu tach

tou bude pořadí koeficientu

krát

nebudu požívat hvězdičku to si dej nechala na konvoluci vtom m funk kurzu takže k

krát

základní

kruhová a frekvence

a ho to mám z na specifikovanou

k osy do sem

no schválně se mám to tak ve chtěl napsat slovy namísto že jakých

nějakých vzorec u

takže můžeme z ve se v a psát

i s lednu

po sinusovku

tyhlety dva koeficienty

z bad čím třeba červeně tak mě diktujte amplitudu

osum

krát kosinus

základní kruhová frekvence

no pod z je se u neřek

sak půjde je obecnou real tak u mega jedna

omega jedna rádci čas

plus fáze kolik

argument s toho kladného

lo takže sobo díváme nace jedničku

a je to pí čtvrt zaznamená

pí čtvrt

plus

vlák o sinusovka l bude určená they ti male koeficient l

amplituda

štyri

o si nos

kovová frekvence

dva krásna základní že ho u dyž je pořadí b koeficientu dvojka tak dvakrát omega

jedna a počáteční fáze

vy povol

a ega sem what do pletl je to pí půl prno

elf pro oči nevidím no vás takže pí půl

chtěla máme to

máme ten signál zapsaný pomoci dvou kosinusovek

eště téčko bit a chtěla know jinak by to bylo mrtvý

ne žilo by to čtu bene byla funkce času děkuju

no tak l takže máme hotovi

horší příklad prala s a

fourierova zada

s hledu obdélníkových impulzu

ve ho se ty k a chylku bavit

fourierovou řadou

takže příklad páty

takhle vypadá jeden jim půl s

perioda tady děch i pulzu to jedna

rovná se šest ne výseku

a k je docela dobrý si

si takovy signál nakreslit

znamená vod mínus jedné o soil

do jedné maso

ve diodou to malá šest moss o

má i je to velký deset

tendr ta do takže s tohodle máme počítat koeficienty fourierovy řady k

velikost je deset

push tady nebudem nic odvozovat ale napiš o vám rovnou jak ten vzoreček vypadal vy

pod takže je to

co je k se no hnán d krát ste r ta lomeno t jedna

kardinální

c nos

tahleta půl krát k

omega jedna

jo a byzme porozuměli významu jednotlivých symbolů

tak déčko je velikost

no takže tady tohle jedl

t h ta

ta j tá je r

arna pro vy ta s

s to myl mobil

trh tá budou dvě milisekundy

a poslední věc s c jedna

t jedna n perioda

takže

ne bychom mohli a

při ten výraz troch úpravy tušit a nacpat posledně všechny hodnoty

ale teďka prosím vás pozor

když to budeme kreslit ručně tak vás varují před tím

abychom si tady už dávali konkrétní hodnoty frekvence o

k a omega jedna

zatím necháme na pokoj a jenom si dosadíme za l v zas f tap u

takže pod ně na to

bure to

desetkrát

tvé toto sou dvě mini sekundy

mome no t jedna

šest milisekund

krát kardinální s vínu s

head a půl t

jedna krát deset na mínus třetí

atari necháme k

omega jedna ve tím

trošku po upravujeme

bude to

no hle sto vypadne

prže to bude dvacet děleno šesti

do vně pomůže kolik to je

takže to bude

tři celé třice tři

krát kardinální sínus

jedna krát de se na mínus třetí

k mega jedna

tak a teďka proč jsem tam prosím vás nechával to k omega jedna

ji byzme si vlastně mohli omega jedna vzít a bo přímo si tam dosadit

bylo to proto

že když začnu kreslit

když začnou kreslit ták

budu potřebovat nějak it bo mocné funkce

a pro ty pomocné funkce potřebuji kontinuální hodnotu kruhové frekvence

takže

na toto

tak zapomenu

a při molu ji s je tam

omegu jako kontinuální hodnotu kruhové frekvence

že mě to si prosím vás že teďka kreslím pomocnou funkci

znamená děl a my tečkovaně tohle ještě nebude výsledek l výsledek a bo tam budu

muset zastřílet

jim

rotačním kulometem

tak ale tak dál

od my si označkovat jednotlivé hodnoty dej n a těch funkcích

řek bych že tady na začátku bude

při celé třice tři

a abych zjistil kde bude ta funkce pro se káva me hodnotou

frekvence

frekvenční osu

tak tady potřebuju vyhodnotit výraz

jeden krát deset na mínus třetí omega se rovná p

to znamená že omega

se rovna pí děleno jedna krát deset na minus třeti cože kolik

což i tisíc p jo jedno kilo p

takže zda jetele vode hodnota kilo p

věky v p

při kila p

mínus kilo p

a tak dále a tak dále

tak zbývá mě poslední věc kde je boudou e kam lvové kam budu střílet

od no ty jednotlivý koeficientu

měl bych tří ledna násobky kruhové frekvence

že

omega jedna

koliv to bude

dvě pí lomeno perioda to jednoduchý

tákže v je p

lomeno šest krát ve set na mínus

třetí takže jestli se nepletu

tak by to měla být

jedna třetina kilo p

o tři sta třicet tři

celých na vlan bla

r p

takže to bude

jedna třetina

kilo p

takže pozor vezmu

rotační kulomet toto bude c nula

jedn na

v je při

štyři

jet

šest

sedum

osum devět a tak dále

a když bych s toho potřeboval vyrobit hodnoty fáze

a k to bude něja takto

no a tady víš bych zase měl potom

pro záporné korové frekvence

mínus v jedna

mínus byla mínus tři

nino s čtyry mínus pět mínus šest

ji no sedum a to do ad cedr

v ná

mínus pí

nula vlála a tak dále

a tak dál

takže vidíte že z ne v ručně z nějakým úsilím

získali hodnoty koeficientů fotr

tódle signál

klid vklidu si to do pište s enom podívam i se to odpovídá mému referenčnímu

řešení k

po to že jsem schopny chybovat co jakýkoliv okolnosti když u sem to dělal moc

král

ale jo vypadá dobře

jela pokud si budeme chtít e ú určit co sou vlastně ty hodnoty že koeficientu

f jedna c dva a tak dál tak dále

tak si musíme uvědomit že je vlastně určují vždy

jak moduly k tak argumenty takže když budete chtít zjistit od no to třela koeficientu

c jedna

taky zjistíte jako modul argument c dva jemu nul argument c tři modulu argument s

co je štyri moru argument a to de a tede o takže teprve tady těm

obláčků

může napsat se jedna c dva

se tři co je štyri

cep jet

a tede

added or

dycky si uvědom to že to tvořeno modulem i argument e

ták vy sem že čas na další příklad chtě jeden před přestávkou hodíme množ toto

to bude rychlej l

fourierova zada signálu s obrá celin znaménkem

určete a nakreslete koeficienty for vezl

podobného signálu ale s opačným znaménkem

takže toto je

tečná s úkol

má to stejnou periodu

v znamená že ten signál bude

vypadat

nějak takhle

a jeho hodnost a bude me nezde s

prosím

můžete rovnou kreslit samozřejmě jako veslo době recykluje de cykluj

takže pokud už máme náhodou něco spočítané

souš co by nám pomohlo

tak to samozřejmě

použije tvá něco spočítané sobě na pomohlo

ne se vcházející příklad žel

i k asi prosím vás uvědomíme

že ve fourierova řada jest ve lineární

to znamená že když

mám vloně jaký signál i k ste

koeficienty ceká a

tak pro signál mínus í k ste

u gumy co

koeficienty mínus teka

ták

a tečném prosím vás povězte jak uvařit koeficienty minus teka

těch původních

jak jakým změnit znaménko

já by v že kdy byzme je měli napsané na papíře of tabulce tech silové

dek prostě za přepíšem a bude to v o jenom že

na tam a by trošku složitější

a se v zdary udělal dva krásn obrázky na jednom sou moduly

na druhém sou argumenty

jak mám ty znamínka po měnit

dobry já o tak uvědomíme si že když mum pět korun

tak stova minus pět koru udělán takže nechal absolutní hodnotu pět korun

a přehodím argument budič

do mínus pí rabu do plus pít uplně dno

a pokud o mám v mínus pět korun

tak sta ho udělam pět korun takže přehodím argument do nuly

prže vlastně celá práce

by měla být tom

že vezmu

ten argumentovým obrázek

well tenleten ten modulu vy zůstane

a argumentovém obrázku

ho je k a sem when původní will ušil tech štěrk nulu u svým m

koho

a ho o

ták vezmu argumentovými obrázek

a všude kde sem viděl nulu

tak s no o udělam plus ného mínus pí a kde sem viděl

klus ného mills piju dělám sto nulu takže jedem

p nula

tví

chví

p x i při pane vek o spurt ní k nebo

nula mínus prý mínus pí kmín s p nula

nula což n jako like a terra

mínus pí

ji nespí a tak a tak dále a tak dále

jo u můžu si bit lech se nejistý jak to bude je s argumenty koeficientů

c tři

c šest

a tak dále to bude vlastně typ původní hodnoty které ležely takhle na hranách to

je pomoz ne funkce

jake k jak to dam a vyřešit

které s ně module nulovej je to uplně no můžu s tam napsa co chci

takže f

vyrobili jsme

fourierovu řadou obráceného signálu

moduly nechávam e na pokoj í

argumenty

obracíme

a děláme k věd myl přestávku

ták posledním příkládky jem terry

bude v dělat na fourierovu řadu

bude fourierova řada osu no tého signál

pravým e

že tentokrát ten jeden kolo s

ne bude ležet vhod mínus v jedné milisekundy do je dne

ale vhod ninu s půl milisekundy do jeden a půl milisekundy

a opět z bude periodický

s šesti

mini sekundami to l skut ní kilo prosím vás

takže tentokrát máme zpracovávat následující signál

kterýžto

bude vypadat

zase hodně podobně jako zem původní ale u bude oko useň natlačený doprava

ke ho tohleto je ninu s nula celá pět maso

hle to je jedna celá pět maso

r ta révy bylo

šest milisekund a tak dál a tak dále

a bude n mít určit jeho koeficienty fourierovy řady a řekněme že tali ten signál

abys to nepletlo

tak označím jako y t

ták a teď samozřejmě

proto je se nám

uč tagle navečer nechce nit integrovat a počítat tak za přemýšlíme jestli by se něco

u nedalo

z recyklovat

a tří deme na to že ano

protože

když signál i k ste

má koeficienty for dřel

cekala

pak signál y t

byli jsme získali jako i k ste

nino s nějaké posunutí

co š náš případ ho protože s my sme měli podobně hranatý signál který byl

symetrický jet cets mého jenom u shift lid oprava o půl milisekundy

tak jeho koeficienty

se y k a

budou ty původní

co je kal

krát e na mínus je k a o mi dá jedna ptal u

pře vše náš při pak to že podnes i v by počítat

kolik že ty naše na v koeficienty budou

se l y k a se rovná co je kal

král na mínus je

k a

teče kruhová frekvence jestli se nepletu tak je dva tisíce p

takže dva tisíce p

časové posunutí ta u je kolik

zpoždění ta u

o kolik sem tou potlačil doprava

pusté sid do vod měřit l tady prostě původně ta hra náležela v mínus jedné

milisekund děje

to je ti leží mínus půl

takže jsem to potlačil o půl milisekundy takže tady bych měl násobit k krát vo

celá a pět

král v deset na mínus třetí

tohle když si vyhodnotím

tak to bude cokl krát elena mínus i je k a

dva tisíce a krát de se na minus třetí se null navzájem

výzvy ruší takže

nula celá pět s krát dvě

a to je jednička takže mínus

k a

to nějak i divný ne na ho bo cíl jsem si popletl v a příklady

ne vážení ta kruhová frekvence dva tisíce p ja sem to řekl špatně vy steny

to potvrdily

kruhová frekvence byla něco uplně jinýho pane vo že

to bylo přece jedna třetina kilo p

v že vista mid být kapu na mluveného markem ebenem

k s někdy poslech ně p protože tam jet

tika dycky králíček hall hal

velmi ustrašený vlasem

do tretry ty řeknu pro ze sem do se v zvrtal takže ještě jednou

mínus i je k

kruhová frekvence

byla

tisíc přejetí p

a tá vo

bylo nula celá lpět

krát

deset na minus třetí

měla takže co my s toho vile zajec ecca

krát e na mínus je k a

r tisícovka s ze tady stín to zruší a dostavám nula celá pět krát e

jedna třetina

což by mělo být pí lomeno šesti

jo touž tou vše lepší a pí lomeno šesti

takže toto je prosím přes předpis na výrobu nových koeficientů s těch starých

a ve mně povězte jestli

tahleta modifikace nějak upraví jejich absolutní hodnoty těch starych

když to nevíme

tak si na pod mem uděla takovýhle svislý čáry který budou

značit absolutní hodnoty

a řekněte měst lise něco stane absolutní hodnota toho nového je absolutní hodnota staré jeho

krát absolutní hodnota a je na mínus je k pí lomeno šesti

tohleto číslo a ti je vtom exponentu tu jak koliv cokoliv složitýho

tak leží na jednotkové kružnici

pro znamená s absolutního hodnota a

se nestane

vůbec nic

nic

můžu je nechat

tak k byly před tím

perfektně recyklovat co show plně super

jak to bude s argumenty

argument

c y kal

do je to násobení dvou komplexních čísel ve že se argumenty sčítají bude argument s

cekala

krát tep prav pardon plus

argument stary tohoto

a jak zistím argument této velmi složité věci

podivam se do exponentu a vod dělam s toho jet škol

late celá věda takže to vůle

plus

mínus k a p lomena šesti

no a u šasi tušíme co se tady bude dít

jak jsem řikal tram o doly necháme na pokoj

a ke každýmu argumentu budeme muset přidat k l násobek

ne bor prospekt odebrat k a násobek v lomeno šesti

v dne se podívat jak terry toto bude

vyřešit

zase si vezmu sen původní argumentovými obrázek

z jim že last trochu naftu protože sešitě nej d jak ve pěkně kopírovat

přidám přivezu při značím si k tomu

jednotlivé hodnoty

jestli se nepletu takto to bylo

tisíc třetin p

toho ty byl vy v a tisíce třetin p

tohle to byl jedno

kilo p a tak dále a tak dále že

čísla koeficientu u tu je mě docela mohli zajímá byly jedna v je

při viry pět šest ad od a ad vedl

a já manty každym o takové argument o teďka přidat

k krát

pí lomeno šesti jsi záporným znaménkem

lžeš tě při tady poznačím že toto bylo p

a tohoto bylo mínus p

tak prosím bod my si to zkusit

měl ad jedno duši

já bych možna navrhoval

že si řekneme pro k se rovnal nula budete přídavek kolik

kolik jed nula krát pí lomeno šesti

mula o takže budo ve mi nějakou poloz know funkci která v u je tady

určitě procházet nulou v

t ti e

se zaměřím zcela náhodně na šestý koeficient

kolik je šest krát pí lomeno šesti

ne no p že ho takže wish to má jít se záporným znaménkem tak tory

budu odebírat

od notu nebo přidávat hodnotu mínus pí

ta je bulu přidávat hodnotu pí

známe na

vyro mým si

takovouhle pěknou

pomocné ú funkci

která vlastně chtěch patřičných

bod a

ně bude realizovat hodnotu

mínus k krát k i lomeno šesti jeho pěna vy na jasně jak jsem ju

je třem tom dospěl

prostě pře pro šest i koeficient

mínus šest krát v lomeno šesti

je mínus tvý

rom mínus čest i koeficient

mínus

mínus šest rádky lomeno šesti je po uspí ve že to jet v nač dal

sem s na back o u pomocnou funkci

a ty nové hodnoty argumentu teďko zistím tak

že vezmu prostě ty starej argumenty

a k ním přičtu příslušnou hodnotu na té pomoz n funkci

a úrod omit vyřešeny takže podm e

pro cenu látku bude nula plus nula sem tady

rito budem ú mít nula

mínus

z mže pí lomeno šesti

nula mínus

v je pí lomeno šesti

nula mínus tři pí lomeno šesti

tech pozor

very budu mít p

mínus tato hodnota

slož estli se nepletu tak jsou du dvě šest niny p to znamená sem někde

tady

rady mám p mínus tato hodnota

co šedo she mínus leze plus jedna šestina p

rady to bude

nula

mýho spí takže jedu

chrát

a já k

tak

tady už bych

počítal dál

s esně nevím

že s ně nevím tam se s touto hodnotou ostanu

ale bylo by to někam

mohlo vy ten i tam sem nous se meta neseděla ně přes

ná

r t tě záporných oblastech

ostal

to jen to argument tento

c mínus tři je tady

c mínus čtyři

vyšlo je k s n c me měst

tady sem se mínus šest

sedum

semín s osum s

a tak dále a tak dál znamená vidíme že z ne dostavi vlastně posunutou argumentovou

charakteristiku

díky to může byl signa zpožděn museli z nevzít velkou palici a praštit ve těch

argumentu za ji s pravé strany abychom je dostali s kopce

tak myslím že s fourierovou řadou sme vyřízení

pod m

potřeme na a kodéru transformaci

mame nějaký signál a máme

určit jeho spektrální funkci

tak

šnej do zadá signál v bych si o měla kreslit že jo

kde bude ležet vět od diracův impulz

ve kterém čase leží

wish by tam žádnu když by tam tu ta je toto nebylo

tak byla žel kde

v nule

že by tam bylo třebová mínus dva tak by ležel kde

tak ve musel bičích tvý doprava žel tech by ležel ve dvojce že tam plus

štyři tak leží

i no she se za že musila ž čase mínus štyri vteřiny

takže někde tady

a jeho mocnost je tři

a já vám spočitat jeho spektrální funkce

lže zasednu

ná pišu v integrál war mínus nekonečna do nekonečna

delta

tři

l tate post čtyři

krát e na mínus i je

omegat e

odle času

uvědomím s je co tato záležitost realizuje za to ji nebur u přehrávat n strašných

horor o to mac to kýlu je komplexní exponenciály

ale uvědomíme si

že r

dal

funkce vlastně

nechá

žít

póze hodnotu

tří krát

je na

mínus

omega

mínus štyři

a tím pádem bych měl v nastat výsledek tři

omega

takže tady toto je spektrální funkce

a samozřejmě mě čeká ještě příjem ne kreslení nako je spektrální funkce

takže zas n nezbývá nic jiného

zasednout a udělat jeden obrázek pro modul o a druhý pro argument

ták tohleto je

nedoš to vám o sál

kolik modul

s téhle de funkce

trojka

ford tři

kolik je argument

opakuji

když

studujete argument tak to je

to o co n f exponentu funkce n na je něco

a není to jet škol

takže argument je

zde

omega štyři jak mám date okresům si nakreslit

vy byste nakreslil vy štyri omega

ta je normálně čára žil

zvyšující se

která má směrnici štyři takže

nad veslu s tady toma procházet nulu will no vám s

tohleto je argument

a moly bych teze byste k němu třeba dopsat štyři omega

nebo

i byste moc chtěli

s klidně zeli třela můžete uděla značku

deset

a tady můžete vy udělat značku čtyřicet

a vy bylo jasný že směrnice se to funkce

je štyři

příklad hotový

příklad další je

opět obdelníkový puls

kde mám velmi malý signál který trvá po dobu dvou hodin

jet ze si představit signál o velikosti mula celá nule jedna který začnete na začátku

zkoušky

c e s e se zapnete

hra kozy zkouš k vypnete

vypadá zhruba tagle že o převedu do

vteřin

tak to bylo mínus tři tisíce šescet

tři tisíce šescet

ad velikost a obrovská nula celá nula jedna

k ste

todlé omega

mám o spočítat jeho fourierovu transformaci

přech filko sme to ta je dělali takže rouge plác meno výsledek

výsledek

odvozování byl

d krát e ta

v r n reální c nos

je ta půl krát omega

co je co sou ty déčka ty té ty

todleto v adele

a s tato vzdálenost je ta je ta takže můžu rovnou na psát

že to je

sedum tisíc z dvěstě

krát nula celá a

nula nule jedna krát kardinální c nul s

tři tisíce šescet

omega

takže když

upravím ze ty kolo je trochu pěknější f ture sedum se vých dvě

hrát karneval nich c nos

nice šescet

omega

no a

zase nezbývá dneš si zakreslit

modul

argument a jedem

vůle tam kardinální c nous takže

pozor tečku že tofu niro transformace

která j definovaná pro všechny frekvence ve že nic pomocného toto už bude výsledek

a spodní něco u pozitivního že je na začat nakonec únavného dne

tohle to bude argumentová charakteristika

budeme s si asi chtít o tech go what velikost

toho maximá tady bude sedum celých dva

a pod budeme chtít z vědět ski de se nám to dot bude dotýkat kmitočtové

osy

jak že kde to bude pokud o nejíme z hlavy jako žár to z hlavy

neumím

stát k napíšeme si tři tisíc ze šest s f omega rovná set p added

i o neděla se rovná pí lomeno

při tisíce šescet

že dvě pí lamino tři tisíce šescet a tak dál a tak dále a samozřejmě

patřičné

záporné hodnoty

tohle by byla osa omega tohle taky aby z n byly slušní hoši a dívky

za ktery ještě doplníme co sme z o vlasně kreslili

toto byla modulová část

po to byla argumentová část

a s n hotovi

tak a poslední k příklad doufám že s o vám bude líbit e a takový

příklon a test linearity

je tlak v a pohádka

systém je jihoamerické jezero

na jedné straně

visa zují rybáři

kapry

a na druhou stranu vozí školní autobus í dětí

stupem je počet náklaďáků s kapry

a počet školních autobusů

a výstupem je počet živých jedinců v jezeře

a my máme zjistit jestli e je se jedna o lineární systém

a za druhé jestli se pořád eště jedna uni nární systém pokud

budeme vy se zvát pěra ně

místo kapr u

ták

takže prosím podm s to zkusi nějak formalizovat

říkali jsme se že když bude vstupem

je n ne

nákla já k

s kapry

znamená střeva no jako nákla dělat

tak je výstupem tisícovka

když je

vstupem a jako autobus

tak výstupem take výstupem čtyřicet

o to že tole sou výstupy

toho systému pro jednotlivé komponent ni vstupy když dyž přichází nezávisí

no teče e linearita pravý

že

když mám a

a krát

já t vstup k

de a je konstanta

plus

d krát

m druhý vstup

tak bych měl dospět

k přesně stejné lineární kombinaci

těch v o původních výstupu z na měl bych vidět a krát

tisíc

plus de krát

štyrycet

v my si můžeme tady tohleto ověřit

znamenal

pokud mám vstupem

r a krát real krát náklaďák s kapry

tak výstupem by mělo být ad krát e

a král ad

j tisíc

ji vých jedinců jo

pokud máme b školních autobusů tech by výstupem mělo být b

krát v b krát štyrycet dětí co show zatím eště tak i živý jedinci

tak dyž srovnáme tady tyto dva

tyhlety dvě věci

tak zjistíme že z do rovná znamená pokud to v jezero nepře plníme uplně náš

povrch že v rouge s na nemohli ve jí

tak tomto případě den systém lineární

teď prosím vás to druhá varianta

kdy nahradíme

kapry pěra něja my

no toro padne jakh

takže linearita nám pravý

že bych pro tyto vstupy

měl

získat ten letem počet živých jedinců ho takhle z zabito plynul z ú

s podmínky vinary ty

když přijede

e n

když přijede a náklaďáku s pěna ně a my tak dostanu a krát tisíc ji

vých jedinců

jak dyž přijede b náklaďáku se školním je dětmi

tak na velice kratičký okamžik dostanu becker čtyřicet v živých jedincům ster i

mohu žel

za chylku zmizí a černou červenou barvu sem nepoužil náhodou

takže výstupem toho systému

a krát tisíc na jeden i jich v živých jedinců

l co žádném případě

se nerovná dary tam u to

za znamená že ten systém tomto případě

není vy nární s

tak ať ně zle skončili numerické cvičení takovým pěknym dese lymf příkladem

jestli si myslíte že jako taji ty příklady může řešit jenom vem kdo není rodič

teka není pravda

až budete rodiče tou vidite sami dech se budete stála v mnohem a mnohem k

cyničtější my

ták a poďme se aspoň e

k od nese s po nich vilku lana začátek pojí podívat na systémy ze spojitým

časem u jenom se ta nať oknem e

r takové drobné opakování

l ten i jí co to znamená s znamená to lineární a znamená tou časově

invariantní

lineární sme pře filko uviděli ná kapři cích a na p raně já

znamená že pokud mám nějaký systém který na samostatný vstup x jedna

rabuje y jedničkou

na samostatný i k dvě reaguje y dvojkou

tak dyž tě tvá s mixu vy tak by měl reagovat přesně stejnou je nární

kombinaci

ta je tohle pro nás bude docela užitečný protože velice často budeme konfrontováni ze situacích

budo ve mi nějaký hrozně složitý signál

tri nebudu vědět jak zpracovat tím systémem

ale budu mít nějaký mustr na to abych zpracoval

něco jednoduchého a to jednoduché pro nás bude

nejčastěji komplexní exponenciál

takže já pucu použiju s tak zvanou s lámavou metodu

do znamená já si ten vstup v rozsekám

několika někdy i nekonečně několika komplexních exponenciál

wage samostatně pro ženu si ste mého pod zase poskládám dohromady

zistím že to nějak funguje

drž tu byla linearita

za druhé

časová invariantnost

znamená že parametry toho systému se nemění

s časem

znamená když tam teď pustim nějaký vstup dostanou výstup

wish tam ten samých šlouf pustím za tisíc let

tak za tisí sled se dostanu teme samý výstup

a taková s základní

základní prostředek na opis

l t jí systému byla

tím pulzní odezva jestli s je to pamatujete

tak s n vlastně

vlas signál v do systému pustili diracův impulz

který sedí v u nule nekonečně vysoký nekonečně úzký

a dostali jsme

nějakou funkci

která lo spor odpovídá odpovědi to si stem

a teď bychom chtěli strašně spočítat odezvu ho systému na libovolný vstup

nejenom na neexistující diracův impulz

a řekli jsme si že tady tohle taký de

a že to uděláme po musí konvoluce

ono holce se mám v r ještě před filko u předváděl značíme hvězdičkou

počítám je pomoci takzvaného konvolučního v integrálu vy vlastně jeden s těch signálu necháme na

pokoji

k druhý

otočíme

posouváme

o potom přes nějakou pomocnou je časovou proměnnou

násobíme

i integrujeme

můžeme použit buď terry tuhletu formu

a v nebo si to prohodit

tá

konvoluce komutativní takže klidně to můžete přepsal jako h ta u krát e k ste

vínu stálo funguje o boji

e ho pak jsou tam nějaká z jedna rušení

pro kauzální systém kde time pulzní odezvat nejde až dob mínus nekonečná ale zaší na

vod nuly můžou se tali tyhlety kile ty vzorečky nějakým způsobem přepsat

ták a

pro nás bude

samozřejmě hrózně zajímavý

výstup toho systém mu když mu na vstup předložím nějakou exponenciálu

d v exponentu budeme mít funkci času

a úplně nejzajímavější raná samozřejmě bude

když do systému

vložím

starý známy signál

n na je omegat e

komplexních exponenciál u

která jeden a

pro ho v frekvenci omega

fakt totiž

dostanu na výstupu toho systému

úplně tu samou komplexní exponenciálu

takže ne mulu mne stanou se z ní žádne štve dečky ani se nezmění její

kruhová frekvence

a tahleta komplexní exponenciála vone násobena nějakou konstantou k

a je docela fájn

před o konstantu

dokážu dostát

integrací

sim pulzní odezvy k

tak a teď když se podíváte na tele ten vzoreček

vidíte v něm něco

sme tady ustřel o neska viděli

tali byste tomu nějakém n no jaký chle ji byl pěkný

napovím s krátkou floor to

tak k je to vlastně

uplně natvrdo o fourierova transformace s

najím pulzní odezvy

a e

je docela fájn že hodnotu tady té fourierovy transformace

ná můžu jí scott vlastně pro u libovolnou hodnotu frekvence

takže a za jedné straně jim pulzní odezvu

na druhou stranou na druhé straně do stanovu funkci definovanou pro všechny

tak lence

a když se na to přeze všechny frekvence podívám

tak dostanou takzvanou komplexní

frekvenční charakteristiku do znamená přesný záznam toho

jak se ten systém bude chovat pro jednotlivé frekvence

zhledem k tomu že jim pulzní odezva je

reálný signál

tak vy tady ta komplexních

my to štvavá nebo frekvenční charakteristika

měla mít všechny vlastnosti toho co má normální for r dva transformace reálný ho signál

to znamená že asi bude mít svou

část pro kladný frekvence část roze záporný frekvence

a že tyhlety dvě části vy měli b s mezi sebou

komplexně sdružené

kryj nějaký příklad

k dyž mám třeba filtr

typu dolní propusť

tak takhle může vypadat jeho kmitočtová charakteristika

o kolu nuly

o pro poušti

odch nějakém

mínus frekvence dál doleva a odplul s frekvence zdál doprava tomu říkáme závěr n pásmo

a nezi tím do říkame propustné pásů

a proto abych dostal vlastně komplexně sdružené hodnoty pro kladné a záporné frekvence

tak tady tohle tomu si by symetrické

a to tomu si výt antisymmetric k

tak

poslední věc

pře kterou vás to je dnes budu obtěžovat ste to po zní hodině

když je tím systém

s takovouhle

komplexní kmitočtovou charakteristikou

prochází komplexní

exponenciál

co se stane

jsi vlastně můžem

říct komplexně exponenciál o na které seš frekvenci

ona odpoví alla sem na nějakého n a jednal a

aby se ta je najdete hodnotu

modulu

a argumentu

kterými má být stále komplexně exponenciála měněna

dyž bych co si to měl zapsat formálně e ktery ty dva křížky které sem

udělal tech mě udávají hodnotu té komplexní kmitočtové charakteristiky na frekvenci

omega jedna

a samozřejmě

tale ta hodnota má svou absolutní hodnotou neboli modul

a hlád o svůj í fázi

a my sme si řekli

že ta komplexně exponenciála po průchodu systémem se vlastně nezmění

jenom bude násoben a

hodnotou

tole čísla

ták a ty ke mně prosím

povězte

když tu u

komplexní exponenciálu

mně na jeně

u mejla jedna t

takhle vynásobím

hodnotou de kmitočtové charakteristiky

a jeho mega jedna

co to co to s ní může udělat

ty gal jsem že nezmění jani tvar

nezmění smysl otáčení to znamená ve to tak nebo tak to lese doznění a l

dvě věci se můžou změnit

počáteční fáze přesně tak co ji bude určovat

po počátečním fázi

modulu absolutní ano tá nebo fáze v not to je otázka že na s ně

a muže se z něj k modul to znamená že se z měj tloušťka trubky

po které se buje ta komplexní exponenciála motta

takže

sice

ta je na dalším slajdu mám nějaké k o strašné hod vození

ale zásadě si uvědomíme

že

pokud s máte komplexně exponenciála třeba při vstupů sebe nějaký koeficient

který určuje

její tloušťku a její počáteční fázi

taktem

absolutní hodnota tnou koeficientu je násobena

modul frekvenční charakteristiky vtom

příslušném bod e

a argument o ho koeficientu

je zvýšen nebo snížen

wall argument frekvenčních charakteristik i k tom příslušném bodě

ták u

kosinusovkou dáme příště sim že čase na chybil

příště se těším tadá nebo těším vozovkách na půlsemestrální zkoušku

pat prosím bude normálně pokračovat v you kázat vada

ve sedu česky

a páte křestním bude anglicky dá k pěkný večer fill

Signály a systémy - přednáška 5.

2013

Jan "Honza" Černocký (Speech@FIT)