Přepis řeči - Signály a systémy - přednáška 9.

jedna dvě tři čtyři pět tak já ho pěkné odpoledne

když teďka dá odpoledne nelze odlišil od rána hodnot si

slunce prý víde v lednu

tak se aspoň pod nebavit c je se s

že už nemáme slunce

ták neska bych chtěl dodělat diskrétním fourierovu transformaci předtím ještě možná udělám takové rychlou páčko

toho co tady sovám lukáš burget dělal minulý týden

to znamená máme se totiž tady ty jsou zkratky nabývají de že do to filtr

gesto ho do fotr a trošku se ta plete tak možná k tím projedu zrychleně

ještě jednalo abyste si uvědomili která tam by je

a pak se podíváme na takové mega numerické cvičení já mám cvičení který obsahuje příkládky

o to se otci nějakého v spojitého systému

až po vlastně diskrétní fourierovu transformaci většinou to cvičení víde tak jako váš do konce

přednášky tech

tím se neska budeme bavit

tak poďme prosím vás

k tomu opakování z minula

co vám tady si lukáš povídal nebo co sme už nakousl i z snad té

předminule přednášce je

že vlastně my když m vzorkovali

tak sme měli napřed signál ze spojitým časem

a teďka sme z něho udělali nějaký strašně složitý signál vzorkovaný

který vlastně sestával

za k ho si sledu diracových impulzů které byly váhovaný tím

původním signálem

a prostě tady jako kdyby velikosti těch diracův byly určenej vím původním signálem prostě byla

to taková docela hrůza

no a říkali jsme že tady tohleto všecko moc nechceme ž nemoc teoretického moc složité

co vlastně bychom chtěli ji

tak je mít přímo diskrétní signál pics ten

a udělat si z něho jeho frekvenční transformaci

tak a já zase poprosim ty žvanil kytary aby se uklidnili je anebo odešli do

vestibulu novou je s to čtverky

taji smím teďka žvanit jenom je a nebo ti co mě pokládají chytré dotazy

tak takže budeme chtít analyzovat přímo diskrétní signál x a

u toho x n známe nějaký opravdický čas inom frekvence

jo nebo ne

ale nikde tam prostě žádnej čas není enko je jenom počítadlo vzorku

jako docela chápeme čase že ho prostě nebude existoval žádný část budeme no počítat vzorky

ale ve frekvenci tady tohle bude znamenat že existuj tak jenom normované frekvence nebudu vědět

vlastně kolik mám kde herců ale všechno bude záviset enom no nějakých poměrech to se

za chviličku vysvětlím

tak a první kladivo

staré sme vyrobili ná frekvenční analýzu těch diskrétních signálu

some menovalo

dete f té neboli fourierova transformace z diskrétním i

časem

neboli discrete time fourier transform o prosím vás

uvědomte si že je tam

oproti tomu z sou uvidime za chvilku ještě to t

takže

naši to ještě napíšu discrete time

core je r

transform

ták

a tabla definována následovně

máme vlastně

jakou spektrální funkci

a teďka poch tak o zase dam důraz na to slovíčko

která se zapisuje takovým podivným způsobem jako x

na je omega a ještě se na ni takhle někdy děla dělat i od a

ta je definován

jako nějaké n

vo to mínus nekonečna

o nekonečna

krát

x c na mínus je

omega m tady tohleto je

do té z transformace

z diskrétním čase

tak teďka bych vždycky hrozně chtěl bysme si ta každý takový vzoreček fourierův ktery ta

je napíšem dokázali rozpitvávat

a dokázali říct proč to tak je už se mám tady několikrát říkal

že jakákoliv

jakákoliv fourierova transformace je font

bude

nějaký sčítací operátor

krát signál

zatím signálem bude h na mínus je

něco

a to něco musí obsahovat násobek frekvence a násobek času

a musí to být dobrý žár lo pro funkci n a mínus je něco

o takže

frekvence

pač s

tak a teďka bych chtěl a bychom se podívali tajena tento opravdu naprosto obecný

vzoreček pro jakoukoliv fourierovu transformaci

a uvědomili si co tam bude na místě těch jednotlivých bjesi lích symbolu

tak signály samozřejmě

diskrétní x n

když je diskrétní signál to znamená jenom určité hodnoty

tak nám to hnedka určuje co tam bude sčítací operátor

bude tam suma nebo integrál

michael tady vzorky tak to je musí bejt suma o

tak teďka tady bude n a mínus je

frekvence a čas jak i tak je tam bude čas

co je to čas tady k

eště tak je vody vod inu tají

zapl umím dáme směn posluchárny

si vědět čet to je čas

bude diskrétního signál

enko jo počítadlo vzorku diskrétní čas

tak jaká bude frekvence

která vedle toho bude sedět vana se samozřejmě značí jako nějaká omega že ho ale

co to je za frekvenci

normovaná kruhová frekvence super a jakej jaký tali toto má jednotky ten čas a normovaná

kruhová frekvence

ten diskrétní čas nemá žádný jednotky to je prostě počítadlo

a normovaná kruhová frekvence má jaký jednotky a vám na výběr obutí radiány za sekundu

a nebo radiány

jenom radián jeho protože kdyby to byly radiány za sekundu tak se to taji nemá

s čím vykrátit a funkce n mínus je něco pane bude chtít hrad

takže dobrý je to normovaná kruhová frekvence tak poskládali jsme si udělali jsme si tu

fourierovu skládačku

dostali jsme tady tenhleten vzoreček

proč se sumuje vod mínus nekonečna do nekonečna

protože jsem o tom signálu nic neřek hlasem neřekl že bude periodické ty tak musím

od mínus nekonečna a nekonečná a teďka si vás začnu ptát dál proč

proč myslíte že je tady ta hran dovnitř

tilda jako abych hada

proč i je tajito

a zkuste si vzpomenout na přednášku o vzorkování my sme si říkali že u diskrétních

signálu se něco

takových ho docela špatnýho

stanné se spektrem

při

ta je tak du takle ta nebylo

já když meer

měli signál se spojitým časem takého spektrum třeba byl jako je kopeček kilo

kde jsme navzorkoval i a s tím spektrem se něco stalo v operace která jako

většinou na menin úplně příjem nale prostě

se top

sperry periodizuje se to přesně také o

to spektrum jakéhokoliv diskrétního signálu je periodické

takže tady jsi můžu dovolit nakreslit a koupil du a prosím vás jakou frekvenci periodické

po jaké frekvenci se to spektrum diskrétního signálu

opakuje

po vzorkovací frekvenci super s touhle by to bylo periodické vy byzme měli normální herci

a teďka mě zkuste říct

když ta je budeme my tyhlety normovaný kruhový frekvence

tak si jakou normovanou kruhovou frekvencí je to spektrum periodické

je získáváte půl minuty navíc

děkuju

tak eště jednou jo ptám se

vy ste mě správně řekl že když budeme ve hercích v normální frekvenční doméně takže

to bude celý periodický se vzorkovací frekvenci

ale tečka já řeknu nenene děkuju tak jak a ta vzorkovací frekvence je prostě ztratili

jsme polem časů ztratili jsme po frekvence opravdické

z jako u normovanou kruhovou frekvenci

dva pít přesně tak o

pokud to nedokážete takhlé call narychlo zla vy

takže řekněte aha

tak dyž se normuje jo u frekvence tak ty normální

se normu jí takže podělím

vzorkovací frekvencí

když je to periodický vzorkovací frekvencí

a podělím vzorkovací frekvencí tak toho dostanu jedničku

takže v normálních normovaných frekvencích by ta periodicita byla po jedničce a když po mně

tady ten rapl tabule chce kruhový frekvence tak dobře tak já mu je z nich

vyrobím

takže prostě jako jedničku vynásobím dvěma pijí

a odpoví muže to bude mít periodicky

se dvěma pí

a tohle prosím vás tato periodicita vysvětluje

i tady ten podivuhodný symbol od v

závorce

zkusme si vzpomenout jak co sme tam psali

my jsme dělali normální fourierovu transformaci

po sem tam dál že x

je omega

se rovná a teďka tam byl ten integrál který počítal normální

té které vypadal nějak takového takže

fourierovy transformace

co kdo to je závorky psal je omega

z začátku vlan to přišlo uplně divný proč se tady s tím

pro se tady s tím jako otravuju

a pak jsme si vysvětlili že to má nějakej vztah zasekla plaz sově transformaci která

počítá s celou komplexní plochou a že ta fourier k vlastně je z ní jenom

ta imaginárního sela takže proto je tam je omega

a teďka najednou do té závorky vráží

na je omega

tak

co myslíte že zase s čím na vás při du na příští přednášce

koro

skoro tak tajte diskrétníma plasy vy transformaci se bude říkat z transformace

a bude to hrozně užitečná pomůcka pro to aby jsme popsali normálně číslicový filtry a

bude to se úplně ten samý trik jak jako předtím to znamená počítam střelou komplexní

rovinou

a abych si s toho vylo dal tu

fourierovu transformaci z diskrétním časem tak nebudu řezat pojímá binární ose ale budu řezat po

n podal na ne

po já budu řezat po křivce n a je omega co je

co je n omegat

když měním omegu

už stock taji parker a zaznělo vektor že ve náhla s

taková hodně s lisovaná komplexně exponenciála

jednotková kružnice budu řezat po jednotkové kružnici

a dostanu vlastně do to foto

ták

je to

přesný vysvětlení uvidíme chvilku ale

ještě jedno vysvětlení mysite že spolu tady nějak souvisí ta ty rodička s tím n

a je omega

jo je tak dyž budete k že vezmete motorovou pilu

a bude ve prostě řezat

poté imaginární ose pojedete prostě vod nuly až donekonečna

bude to někdy stejný potkáte někdy nějaký stejný spektrum

představte si že jedete po dálnici

na startujete v brně a pojedete až dokud vám nedojde benzin portugalsku třeba

nebo je ta stejny prostě jedete lineárně ale dete pořádal

kde kasy přestavte že jezdíte po jednotkové kružnici to je po jedete

brně po okruhu

a tak dyž ten okruh jednou objedete a pojedete po něm podruhý tak už to

bude stejný tosu po co budete vidět tak že

je stáh

mezi tou ty budou která nám říká bude to stejný

bude to periodický

a tohle do u proměnnou

která nám vlastně říka říká to sami protože budu nějaké způsobem objíždět jednotkovou kružnici

ták

jako další

jako další věc

ste asi viděli

diskrétní fourierovu řadu

dosud a kdy s

nebo anglicky do se sil discrete fourier sílí s

řadám a konečně rakou ji docela debil ni

překlad protože to je n sílí člověk by sirek léto série t c líc

asi lee se jednotné číslo

se vymy slavit proto aby zmátli cizince

tak co bude jak je bude rozdíl

mezi discrete fourier sílí s a

a do to filtr

co tam bude odlišný ho

tak já zkusím začít otto ho co je co je zřejmý

tady jsem říkal že nic nebude periodický takže pojedů vod mínus nekonečna do nekonečna o

když bude signál periodických dyž bude mít nějakou periodu n

tak ta suma asi pojede odkud kam

asi bude stačíte s jednu periodu žel pak

dál účto nemá cenu takže

takže jedu jenom přes jednu periodu

a nejednodušší jestli du periodu nadefinovat vod nuly do mínus jedna

masochisti můžou kdekoliv jinde

takže x

tak a teďka zkusme doplnit u fourierovu skládačku

mínus je

a tady bude nějaký

nějaký kyji x na konci a já bych chtěl vědět jakých charakter bude mít terry

ten výstup

a teďka se dobře zamyslete před chvilkou

sem měl

fourierovu transformaci z diskrétním časem

sypal sem do toho diskrétní signál

ve spektru sem dostal funkci

která byla definována pro všechny možný frekvence

a díky tomu že ten signály je diskrétní tak byla periodická o takže na čase

čase

diskrétnost

ve frekvenci periodicita

to je či do toho rvou u signál

který je včas e diskrétní a čase r lidský

tam se

co s toho poleze

no jestli ste říkal jeden impulz n možná že máte částečně pravdu

zkuste si uvědomit jak to byl jak to bylo za starych časů spojitých signálu

o u

na napřed sme měli

fourierovu řadu

platily sme do toho periodických signál

ve spektru to vyhazoval o co

enom vzorky nebo koeficienty

no tečka

mám diskrétní periodických signál

a zase se ptám co to bude vyhazovat z ve spektru

taky vzorky

o protože když v jedné doméně udělám diskretizaci

tak ta druhá domén na to dycky o odpoví vzorkováním to prostě funguje kým a

ji tím druhým směrem

takže

uvědomte se že tady na hrajou obě dvě věci

signál mám diskrétní

tím pádem

bude

na výstupu

něco periodický ho

signál mám periodický

tím pádem bude na výstupu

něco

diskrétního

když ty si tady tyhlety dvě věci dáte dohromady

máte vlastně na výstupu něco diskrétního a něco periodický ho

tak to nemůže být nic jiného než nějaká sada koeficientů u

která se vlastně pořád takhle opakuje

jo a toto přesně nám říka diskrétní fourierova řada takže u do sem z

můžu udělat takovouhle ty judu

napsat a jenom index koeficientu

tím sem se vyrovnal elegantně s tou levou stranou

no ale teďka je geto s tou rostou pravou

co myslíte že bude tady

u toho

mínus

něco

zkusme si to rozpitvali jo na před napře tam nacpeme to co známe co tam

bude jako čas

n kozu jinýho

co tam bude jako frekvence

bacha kdyby za tam dali frekvenci dvě pí

tak to bude

statická jedna jediná frekvence ze kterou už nic neudělám tak mu si to trochu popřemýšlet

se to bude

dobře klidně se to vonělo značit jako omega s čarou

a to omega s čarou

musí odpovídat samozřejmě taji tomu káčko jo protože káčko nám vlastně udává pozici ve frekvenci

že

ta je to bude nějaký omega s šero u označím jako core

a teďka jak to

jak to kryndapána oční ne

zkuste mi říct

když je takovej signál

který má

které má periodu n vzorků

jestli u něho existuje nějaká základní frekvence

tak jako sme měli u mu signálu ze spojitým časem

když to mělo periodu k té

jo když si tady šáhnu do zásuvky ty tak s sebou tady budu cloumat každou

padesátin u

sekundy jednapadesátin a sekundy je perioda padesát herců je frekvence

tak teďka mě řekněte jestli mu těch diskrétních něco podobnýho

samozřejmě o já mám základní frekvenci

nějakou

pod poďme si mohl značí třeba jako omega kuku mega z

která je dvě pí

máme no n

a tohleto je základní frekvence

a tady tadleta frekvence bude vlastně násobena

káčkem ho takže ja tady smažu ta máte ten standardní zápis

nejv tam exponentu máme k a

dvě pí í

lomeno n

a když i to zapamatujete jenom tak mléko z hlavy v a tak za chvilku

zapomenete

na top proč tady všecky ty písmenka

ježíš mariá sou ale když si řeknete u všech fourierových transformací ta musí být mínus

je čas

a pak nějaká frekvence

a ty si uvědomíte že

kdy že to periodicky datu musí mít nějakou základní frekvenci a pak je tam nějaké

násobitel terry tu základní kruh frekvenci násobí tak možná že to pak dáte z hlavy

i když si třeba ten vzoreček

nebudete pamatovat

tak

tohleto

když si spočítáme

tak bude

neustále

periodický trity káčka můžu prostě hrnou jo ještě mě řekněte po kolika to vole periodický

kolik vzorků tady jako nadělám nešli naše mi to tečného pak o

tak ty klika sem se uvědomte

jednu věc já jsem mám teďka řekl

že

cokoliv

periodických signálech

která cokoliv sme vzorkovaných signálech

bude periodický s

normovanou kruhovou frekvenci dvě pí

toto bude periodicita

prostě fakt asi se mnou nebudete ale teďka sme řekli

že bude existovat nějaká základní frekvence

která bude dvě pí

lomeno n jo

nižší žádná frekvence tom signálu nebude existoval rostě

je pí lomeno n je základní frekvence

tak mě zkuste říct kolik tady těch

čáre check

frekvenci dvě pí n o

přesně tak na dělam if tam přesně n

když budete krájet

dort

a budete chtít dělat budete ho krájet po jedné šestnácti ně tak asi logicky na

krájíte šestnáct dílku

já takže

docela jako pěkný zjištění že tady těch vzorků

který se budou

opakovat také zase

to s

a takže uvědomte si že my máme periodické je diskrétní signál s tedy s periodou

rychle děláme diskrétním fourierovu řadu tak na to vlastně vyhazuje

smysluplných vzorku

který jsou natažený od nuly

no dvou pí

a říkám to dobře dyž k nebo ne

jsou vopravdu ty vzorky je těch vzorku opravdu na to že ne jich od nuly

do dvou pí nebo

kousek

kousek po dvě pí že

t prosím vás jako když máte ten program s céčku

a máte to pole o velikosti šedesát tak můžete indexovat vzorky vod nuly do padesáti

devítky ale nedej bože já byste zapsali

šedesát i jo tak tady je toto sami to poďme si prosím vás to říznu

plně přesně

toto je nultej no ne k první druhé je bla

toto je n mínus první

a tenleten balík n vzorku

se opakuje a ten co je

na dvě pí ten n they

ten patří do toho dalšího balíku ten až bude stejne jako

jako nula a pak dále a tak dál

takže víme že ty vzorky jsou takhle pěkně roztahaný nuly do dvou pí

a teď mi eště prosím vás řekněte kdyby

kdyby za vámi je kdo přišel a řekl

t podívej jako dvě pí trávu bez nevím co je a já nevím já vím

co jsou herci

tak mě laskavě ty koeficienty fourierovy řady

překreslí a nakresli je na normální frekvence hercích jak byste to udělali

proč to násobit kteři norma

prosím

fakt podělit

pojedu budeme si zkosit udělat vzoreček

který ve sme

kátý

vzorek

a plácne ho všech čtyřech

frekvencích

na správný místo

no takže v normovaných kruhových frekvencích

x počítám

frekvenci která odpovídá kátýmu vzorku

ve liší s a jedné nudle je dvě pí lomeno n

pak vynásobím tu nulu otáčky a mám to n takže k ta

krát dvě pí

lomeno n

tak teďka normované

obyčejný frekvence

prosím frekvenci odpovídající kátem ú vzorku

n ne

uvědomte si prosím vás v normované k frekvencích obyčejné k

to odpovídá té k tomu vlevo du

po které hodnotě je to všechno periodicky

no bacha dvě si mě říkáte f s tak to už sme obyčejných frekvencích pozor

já se bitka ptáme normovaný

z něho měl začít že s tím obyčejnym o

mami

tak norman předpis

bude k krát jedna lomeno n

protože jedničku dělím ná n nudlí

tak

obyčejný frekvence

nenormovaný

k bychom tady ten předpis vyrobili

no tak

vím že tady todleto je f s

zase to dělím na n nudlí

takže k krát f s lomeno n

poslední

kruhová

frekvence romové na

jo takže kruhová frekvence

no tak tam by to bylo k krát dvě pí f resp fakt nebo ještě

něco

lomeno n já

potřebovat víc

jo takže já vím že si a frekvence meta teďka těžký

rázem vás tech zaplavil štyřmi různými frekvencemi ale většinou stačím je po násobit mu podělit

nějakým a konstantám a na dokážete vpohodě převést jednu na druhu

tak a poslední řebíček byla

fourierova transformace

tam seděla loni nějaký tak věku matematický odvození

je jako že mám vlastně n vzorku

a jako že si těch n vzorků zperiodizujeme u abych mohl provést fourierovu diskrétní fourierovu

řadu taky u udělá vám ale pak terra vlastně s toho výstupu vezmu jenom těch

n vzorku

ale cele je to bylo prostě složit jak mlátička takže prosím vás na to můžete

klidně zapomenou

a říct si že

de f té diskrétní fourierova transformace

převádí n vzorku

na n vzorku

zapisuje se takhle

je to vlastně uplně stejná definice jako ta fourierova řada

časem samozřejmě jedu vod nuly do

n mínus jedna

uvědomím si

že těch n vzorku který vyprodukuje

diskrétní fourierova transformace

ně pokrývá regionu bod nuly a škodou vzorkovací frekvence

a skoro a ještě jednou vám ještě jednou vám namaluju jak to s tím a

frekvence mum bylo

nula je vždycky nula

takže začnem not

obyčejné

obyčejné kruhové

normovaná

a normovaná kruhová

obyčejná

na je de až do vzorkovací frekvence

obyčejná kruhová jede až do dvě pí vzorkovací frekvence

normovaná jede do jedničky normovaná kruhová jede do dvou pí

a já vím že d f t my tady den interval pokryje n vzorky to

že tady je nultý vzorek

první

druhej na bla

ač n mínus druhé jejich

ač n mínus první

a prosím

přesně ten bod kde je vzorkovací transform kdy vzorkovací frekvence je tak tady

už

protože

tady už by to bylo periodický

nulo

těch n vzorků který vám vysype d f téčko

jede od nuly

a škoda vzorkovací frekvence ale zastaví se vlastně jeden díl k pod ní

já a když byste teďka chtěli vědět

jak ty koeficienty jak ty káčka

přepočítat na jednotlivý frekvence

tak si myslím že už by se to snad zvládli licky taji tenleten limit pravo

je potřeba rozdělit na n dílku

a ten díl k vynásobit příslušným

káčkem

a máte to

tak tohle bylo takové rychlo pomalou opakování to toho co ste viděli minule

a zkusím dick a navázat na to co

co tady ukáži dělal

dozvěděli ste se takové zajímavé věci

jako obrázku duhové posloupnosti kruhově posunuté posloupnosti vidíte že zase se nám do tam posouvá

s nějakým

už sme to tady park rád viděli

na mínus

frekvence

krát zpoždění že

akorát je deka to zpoždění samozřejmě

počtu vzorku

a ta frekvence je zase diskrétní ne že dvě pí lomeno velký n krát k

a takže tady toto je něco velmi podobného jakost neviděli

a co

vám lukáš už na už nestačil ukázat je jak je to s tou kruhovou konvolucí

tak tady

je to tak že když

máme jeden signál

máme jeho d f téčko

tím to znamená dostaneme ho do spekter a

druhý signál pomocí došl to dostaneme taky do spektra

tak pokud časové oblasti uděláme kruhovou konvoluci

tak ve spektru na tomu odpovídá i

jsou čin těch dvou původních spekter

a mám tady nějaký

příklad

který si možná zkusíme hned to udělat

při několik led říkám že ta jim ten obrázek musí moly bilovat

protože vždycky zapomenu co je co

ale toto je x jedna

toto je x dva

znamená dva signály

tady vpravo by měla být jejich kruhová konvoluce a protože

protože si někdy nejsem istě je se to správně

k tak si to plně zkontrolovat

a když děláte kruhovou konvoluci tak máte možnost pracovat

se dvěma kroužky papíru které

slepit pomocí lepidla ale já jsem nenesou tuto úžasnou ji inovaci

složíte papír a štyři štvrtiny

a pak s něho takhle vytrhnete rok

a tím získáte kolečko

mám toto že na základce se takhle dokonce jako dělal nějaký sprostý obrázky let

než jsme samozřejmě dospělí že za

tak

tetě na jedno s těch koleček si napíšeme jeden signál

který měl vzorečky

dva nula

druhé kolečko

si napíšeme vzorky druhého signálu se kterým budeme konvoluováno to znamená jedna mínus jedna nula

tak a teď prosím musíme provést to sami co uple bilineární konvoluce

akorát že se nám do točí dokolečka to znamená že jeden ze signálu může necham

musíme chat na pokoj

druhý musím včas se otočit a musim o posouvat

to otočení a posouvání budou samozřejmě kruhové

takže musím provést něco takového

a teď jsem zřejmě zem

ztratil hodnoty

takže si je vo píšu jedná

jedná

no na

nová

tak přiložíme si to s n

je dobrý si samozřejmě poznačit nulový vzorky abyste věděli co k čemu sesadit

no a už může lovnou psát tak bude vypadat n výstupní signál znamená y n

pro n se rovná nula jedna dvě

při

ty vzorky co se ní nad sebou novou vedle sebe tak musím vynásobit všechno musim

posčítat takže dvakrát jedna

jsou dvě

plus nula plus nula dost nula takže dobude dvojka

že budu

počítat teď prosím vás čas n se rovná jedna co vám udělat

otočit ale co kam

takhle že musím vlastně

otočit vnitřní kolečko cen takže dva

mít byla tam mínus jednička no právě začínám zjišťovat že ne to přestal vycházet takže

tady byla skutečně mínus jednička děku mockrát emil se byla prodloužená přednáška kdybyste vy to

neřekl

takže a kousek otočím

vidím dva krát jedna za krát mínus jedna

dohromady nula

ještě o to čin

vlak rád nova dvakrát mínus jedna nula no že

mínus dva

a naposledy jo to čím

teďka vidím sami nuly

kruhová konvoluce prosím vás tady tímto posledním zoubeček m končí

o proto že kruhová konvoluce vyhazuje tolik hodnot

tolik vzorků jako

délka kterou měli vstupní signál ne byste chtěli dělat cyklickou konvoluci tak s tím můžete

vrtět takhle pořád

pořád dokola a bude vám to produkovat pořád alše další hodnoty takže si budu muset

nanést zacho rovy papír tady odvedle

jo takže kruhová konvoluce

kterou sme právy spočítali je dva nula mínus dva nula

že si no ověříme si

jsi toto je mám dobře

a myslím si že jo protože dva nula mínus dva nula je kruhová konvoluce těchto

dvou signálů

tak teče tady mám pomocí

diskrétní fourierovy transformace

spočítaná spektra těch dvou signálů tady toleto je

jsou do komplexní čísla takže samozřejmě musím rozhazovat ná

na modul a argument tak tady tohleto je

modul

d f téčka

prvního signálu

argument sebe téčka druhého signálu

modul d f téčka

druhého signálu

argument

d f téčka

druhého signál

tak teďka a ale vynásobit

prosím vás tak jak je to jak je to z násobení

co dyž mám vynásobit

dvě spekter a která se stávají

s komplexních e s

pojď bysme mohli pomalu vědět žel násobení násobí moduly či dám argumenty takže když they

téhle ta čísla vynásobit e tak jedna krát nebo štyřikrát nula je asi nula

tohle

vypadá jako nějakých číslo skoro tři

skoro jeden a půl dobře jet teda vod dohromady čtverku tady to bude nula krát

štyři ta se nula a podobný číslo na za je

a kdybych měl když budu mít

práci s argumenty tak vidíte nula a nula dal nulu

mínus něco plus něco nulu

nula nulu a

plus něco mínus něco

ta se no znamená

tady vidím

výsledné spektrum

tohle by bylo nějaký

y k

hodnotě

argument

silon

tak sion k

měla jenom prostě ilustrace toho

že se tajito dá provést samozřejmě tyto kdybychom se to chtěli zkontrolovat

tak zase dnem e a spočítáme si de f téčko tohoto signálu

a byzme zjistil jestli to opravdu sedí nebojte za chylku se tady na tu legraci

dostane

že budeme ta d chtěl pravdu počítat

tak

d f téčko si uvědomte prosím vás že to je poprvé

co tady vtom to kurzu

vidíme něco vopravdu spočitatelné ho předtím tady byla sama nekonečná

same prostě jako

osy z reálnými čísly to znamená milión šest hodnot

byly tady integrály prostě nic s toho se jako

přímo

nedá počítat aniž byste to nějak upravovaly zjednodušovali počítali numericky a tak dál ale tady

ste se podívejte na tento krásny

zadeček

je tam suma která je d přes n vzorku

u tam vzorky

jsou tam nějaké komplexní nějaká komplexní čísla která si dokážu předpočítat a výsledkem toho všeho

je zase n vzorku

a takže hurá

dokážeme si tady tenhleten vzoreček

naprosto vklidu naprogramovat

když

byste ho vzali takhle podle definice

tak byste si řekli no tak dobře já bych mohl

mohl bych

ty vzorky

x nula

až x

n mínus jedna

uzavřít tenle do nějakého vektoru

ty výstupní vzorky

x nula

až x n mínus jedna

budu očekávat

tak i v nějakém vektoru

a jak ten jeden vektor dostanu s toho druhého

tak byzme si mohli představit taky

to je tu sumu

a násobení z jakými těmi na mínus i je bla

zkuste si uvědomit o že pro výpočet každého takového dle koeficientu x k

vlastně musím projet celý signál

musím to vynásobit nějakými

přeci jen ty nary a musim do ševko sečíst

když ellis neužíval nějakého operaci matematické která tady todle byla

projíždí věci vodpo bodu násobí

a všecko sčítá

násobení matic přesně také o takže já bych vlastně si mohlo udělat takovou matic i

jak bude velká ta matice jsem i si t

todleto má velikost n

tohle to má velikost taky n

jak bude velka do matice

m krát nejasně takže já bych si mohl klidně udělat matic i

plnou čísel

na mínus je dvě pí lomeno velký n k a n kterou si přepočítám

a klidně tajito operaci můžu realizovat jako že jako matice vektorový násobení

kolik budu potřebovat operaci na ta bych to spočítal

n na druhou násobení

a skoro n na druhou čítání jo takže vlastně dvě

dvě n na druhou operací

m dluhu

flash reko

když máme nějaké rozumné velikosti těch ve kterou třeba tisíc dvacet čtyři

a tisíce čtyry set osum

tak to dost do k a chtěli byste to třeba počítat každých deset milisekund takovoule

operaci

tak o není úplně legrační ani na současném hardvéru

takže

naštěstí

existuje

jakési zjednodušení a bohužel nebudeme mít často tady dělat detailně ale vod šedesátých let kdy

zasedli pánové kuli s takým

a přišli na rychlou fourierovu transformaci

tak se tady tohleto číslo n nebo dvě n na druhou

dá zredukovat na n krát

blok dva

n na takže pokud máme třeba tisíc dvacet čtyři hodnot

a potřebovali bychom dvě mega operace na to aby jsme posčítám lidé téčko podle definice

tak pomocí rychlém fourierovy transformace u na potřebovat

jenom

byl bla kolik tisíckrát

logaritmus základem dvě tisíce

proč je ne n cože deset

deset krát tisíc budou potřebovat enom deset tisíc operací to je docela dramatická redukce

a když těch čísílek bude víc tak ta redukce bude ještě větší a jsem říkal

bohužel do to je nemusíme nemůžem děla detail ně

ale

pokud budete

pokud někdy uslyšíte o nějakých motýl cích

případně prostě bate fly

algoritmem anebo dyž bude to pojedete na erasmus z do francie tak tam budou lítat

pořád nějaký papíru

tak to není tím že by ti zpracovatele signálu nějak moc jako pili nebo kouři

ale budou se s vámi asi bavit vo tomhle rychlém algoritmu pro výpočet pro výpočet

de f t ho ne to totiž tákže vlastně dostáváme jeden vektor na konci očekáváme

druhý

a to struktura vypadá tak že micky vlastně pracem na párem koeficientů

výpočet vypadá zhruba takhle

na někoho napadlo

že tyhle ty výpočty

vlastně vypadaj jako motýl kill takže

nechávám na vaší

představivosti jestli to jsou motivaci

nebo nejsou můžou to by tak je třeba motýlky nějaké slečny s playboye z

možných možná že vo toho jemš šla

tak

co je prosím vás důležité tady toho f téčka je

že to není nějaká prosím vás nová transformace to byste měl šasi zabili kdyby vybité

nadefinoval šestou fourierovu transformaci

ale že to vlastně je jenom rychlá implementace dostat l

no takže

produkuje to stejné hodnoty jako do flat to

ale rychleji že ste si to vyzkoušet matlabu matlat umí do fort l

i fakt ale mám takový pocit že pokud

budete pouště do fotr pro nějaké rozumné velikosti vektoru

takže sis stejně v někde zadu zavolá foto zažito dostanete rychle

tak

ty se dostáváme k tomu žen

máme konečně transformaci kterou dokáže no spočítat

n vzorku na n vzorku výborně

a teď byzme se chtěli vrátit k těm naším nechutným integrálům a nekonečným sou mám

a tak dále o

a je chtě řekli byzme taktik to máme kladivo které jsem n došlo to

tak poďme s ním zkusit mlátit sty věci které sme před tím viděli jenom teoretický

a které nebyly spočítat l ne

takže my budeme chtít

počítat fourierovu řadu

a fourierovu transformaci se spojitým časem

budu na to chtít nějak na šroubovací

počítat to pomoci diskrétní fourierovy transformace

tak před tím neště do toho dáme

tak by jsme si ale měli uvědomit co sme tím de f téčkem vlastně spočítali

to je tole jsou tři docela

docela důležité body

a pro ve

sem rozhodně

počítal

něco ze vzorkovaného signál

to znamená ať chci je nebo nechci

tak spektrum toho co spočítám

bude jaké

při k na byl vzorkovaný takže spektrum je

r lické

teče ta první věc taková docela zřejmá l no ale zkusme se chvilu zastavit u

toho druhého bodu

já jsem sice

předpokládal

že počítám enom s n vzorků

ale si hi n vzorku

sem spočítal n diskrétních hodnot ve frekvenci

a teďka prosím vás ste za pojď svoje hlavy k i když

mám diskrétních hodnoty

vod nějaké koeficienty ve frekvenci

tak ten signály jak i

no řekněte nejdeš toto je má na jazyku a nejdete dobřes té pusy protože tomu

člověk nevěří

ale je to tak prostě pokud počítam diskrétní hodnoty je frekvenci

tak sorry ale ten signál který sem do toho nasypal will vlastně periodicky

takže i když meto nevěděli je nebo tak o sme to zanedbali toho t tečka

tak ten signál který sem do toho sypal

byl

periodický

díky tomu dostanu

diskrétní vzorky a n nějakou funkci kterou bych nespočítá

a konečně že

poslední věc

která ještě více za té ryska

je ta že když budu počítat s nějakým signálem z reálného světa

který bude půjde vo té konečná velmi nuzné konečná ho bude prostě nějaký moc dlouhý

tak já ho budu muset proto abych dokázal zpracovat d f téčko mě jak omezit

muset vy seknout kus

a pouze s tím kusem budu počítat

takže

mám

a ty signál který se to vesele té jako try dál mínus nekonečna do nekonečno

si na něho aplikovat

téčko

tak záleží bych to na tom jestli ho nejdřív navzorkujete a potom o seknete vo

nejdřív ho seknete pak navzorkujete té celkem jedno

já ho napřed řeknu

a pak na vzorkuj tu

řekne to že jedeme jenom od nuly

sem

takhle sem

signál vysekl nul

nějakým oknem

abych ho vůbec jako dostal do konečné délky která pak ode tím de tečky spočítat

tak a teďka vy se vám

měli ale rozezní

varovné zvonky

nejsou to zvonky štěstí

a jsem vlastně vybíral cen

signál tady takovymle oknem když meto třeba nevěděli tak prostě násobil jsem takovým l pravou

linum oknem

čase sem násobil co se děje ne frekvenci

když nás objem včas

konvoluce bohužel jak vypadá

vektoru

pravou lýko book na nebo pravou hijo signál u

konečně veliké a jak vypadá

sme to dělali

kardiální sínus že lo

takže pozor prosím vás řek o ohromný zjištění

ve spektru

mám tady

co si co vypadá jako

kardinální c news

a když pod když počítám spektrum toho vysekl o signálu pomocní d f téčka

tak vlastně nepočítám spektrum toho původního signálu

ta je tohoto ne

ale počítám spektrum toho původního signálu

konvoluováno ne

a je s tímto

teče sysco sme uvědomit

co provádí konvoluce

takovymle spektrem co myslíte že to bude nebudem dodaj děla detailně ale

se to má za následek co třeba když r

co třeba když mám k tom původním spektru

vyhne jeho tom původně spektru takhle dvě spektrální čáry

hodně blízko sebe

a pak to pro konvoluováno tady s tím

tím kardinálním c ne ukážem si zhruba přestavit se to udělal

nic se zvýrazňovat nebude bacha

codd předním sed říct že rozhodí

ne bacha

ony je vlastně pře má z

my si můžem uvědomit že pokud by tady byli čáry tak čáry se chovají jako

kopírky že jo takže každá tahleta čára tři zkopíruje svoji kopii toho podle spekter ale

pak se to okamžitě sečte

já prostě konvoluce

funguje tákže

otočíte heren signál posouvat

násobit e integrujete

takže co zde ta konvoluce vzejde

je nějaké spektrum kde už ty dvě původní čáry nebudou vidět protože jsem vlastně zlého

takže při dekonvoluci to prostě přimázne tech

že to výsledné spektrum by

fungovalo

nějak takhle

těm to je vy

to že tam někdy byly

nějaké dvě čáry

to už životě neuvidíte

schválně jak dlouhé musu co dělat s tím oknem aby to bylo

aby k tomuhle nedocházelo aby to bylo co nejselektivnější

nejkratší okno many má jaký spektrum

port když f čase krátký

tak mami širokánskej i strašně rozmazávají cíp hnusný spektrum takže naopak vhod se ty co

nejdelší

aby to spektrům bylo co nejužší

jo takže zase detailně to v nebudem řešit

ale prosím uvědomme si že

se tam taková nějaká operace projevuje

a že nám to bude někdy docela vadit

tak

poďme

omlouvám za sníženou kvalitu zvuku

tak poďme na tu první úlohu

výpočet koeficientů filtr

pomoci diskrétní fourierovy transformace

tak

zase zkuste udělat mentální bývá jen de někam na začátek semestru

měli jsme triadický signál z diskrétním časem

jo který měl periodu

velký to jedna

měli sme takovýhle krásný definiční vzoreček

s toho

jsme očekávali koeficienty fourierovy řady

teď si řeknu tak nešlo by to nějak uděla nešla by na to nějak namontovat

to d f téčko

aura šla

takže my si

jednu periodu toho signálu

rozsekáme na n vzorků

a když mám těch n vzorku tak

a mám vzorkovací periodu

a vzorkovací periodu t

tak můžete začít n vzorec přepisovat to znamená

celá perioda je n krát

vzorkovací perioda

každý

každý vlastně

kousíček toho integrálu

můžu aproximovat jako hodnotu

původního signálu

daným vzorku

a pak se dá ještě udělat nějaká práce tady s těmi exponenty léčku uděláte s

ještě dvě nebo tři úpravy

a na konci zjistíte

že ten koeficient fourierovy řady vychází tak dle

a zajásáte protože ta lesné před chvilkou vědí viděli tohle je totiž definiční vzorek k

diskrétní fourierovy transformace

takže vy stě za slavně

napíšete

že

že disk r že

koeficienty fourierovy řady

spočítám

pomocí de f t takhle

vezmu k ty koeficient

d f téčka podělím počtem vzorku a u si balíte věci do tašky a vy

ste se odebrali do restaurace

tak

zatím u to bylo ideální

to jako když kupujete nové auto nebo

nebo

mate nového partnera třeba a teď přichází ta ale l

takže ale

ho to funguje

ale

ty koeficienty se samozřejmě budou dat počítat

jenom pro hodnoty k který jsou menší než počet vzorku děleno dvěma

chtěl bych vět proč

přesně tak vzorkovací teorém a nebo

nebo vlastně periodicita

spekter a my víme že tady je vzorkovací frekvence

my víme že d f téčko nám

nahází nějaké vzorky

ale my víme že spektrum toho signálu

musí být určitě schováno tady od nuly

do poloviny vzorkovací frekvence

plus samozřejmě

vše jsem povolil

záporné frekvence a kdyby to bylo víš

tak ten vzorkovací torem nebude splněn to znamená tam nesmí takže pouze

pro tyto vzorky

to můžu poučit

ta je to ještě pořád pohodě

protože pokud sem si pohlídám že ten koeficient

že ten vzorkovací teorém je splněn

tak tady todle to bude fungovat

za druhém musím i splněn vzorkovací terorem vo tam sme právě říkali takže tady toto

ještě pořád pohodě a teďka ale pozor ten třetí bots ten je ten docela brutální

já jsem říkal

že budu analyzovat periodicky signál

že do jedné periody musím

nacpat přesně n

vzorkovacích period

léto tudle je docela drastický protože

já vlastně nevím co mám na vstupu je to chci analyzovat

a někdo měří k ano ale aby to fungovalo tak musíš použit přesně celý počet

vzorkovacích period

takže tady ten třetí bot je takový docela problematický

a většinou do prostě nějak střelím

určím si nějaký počet vzorků hano to nějaké víde

a pak začnu zjišťovat jak to vlastně vyšlo

ještě to někdy funguje tam že pokud se do toho n k a

nevejde jedná ale několik period

tak to ještě pořád funguje

a pak ta wrap přepočítávat c rovnice taji tahle platí změna k malou změnou

ale nějak sem si moc nepolepšil

tak nám ty na to dva příklady ale myslím že přestávka f ř

takže pět minut odpočinek a pak pokračuje

tak poďme pokračovat

tak mám tady nějaké dva nebo tři příklady o tom jak to bude fungovat svoje

rvou řadou

příklad první

signál ze spojitým časem

byl zapsaný takto

tak byl vzorkován i na jednom kilohertzu

mám vypočítat koeficienty filtru jel pomoci diskrétní fourierovy transformace

a podívat se jestli to jestli to vyšlo dobře

tak

jaké jsou teoretické

koeficienty thriller tohodle signálu

víme že když je to jenom kosinusovka reginy levej dva c jedna c mínus jedna

co je jednička

vy měla být

polovina

amplitudy takže pět

krát na je počáteční fáze je na je

ty lomené čtyři

a c mínus jednička vy měla být

to stejny ale z opačnou fázi že tyhlety

kdy měli být

elektrické

ta který na tento signál

ústím e diskrétní

fourierovu transformaci

znamená vyberem si šestnáct vzorku

zjistíme že d f téčko vypadal následovně

že má co si na prvním vzorku

co si na patnáctém vzorku a že to co si je

že zmizí ta je to věc vysoké

osmdesát

tak to na velikost osmdesát

že to je docela

za jen protože my k sme řekli že deficity c k a

zjistíme jako x k

lomeno n

tedy osmdesát lomeno

lomeno šesnácti jseš se rovná pět

takže velikost bude dobře

co se týče argumentu

tak jsme tady přišli na to že je to nějakých nula celá sedum

hote to hodnotě už víme že to bude že to bude pí čtvrt takže to

je asi dobře

toto bude koeficient

c jedna

oukej

jeden a jedem se mínus jedničku

buď si jo vyrobíme se jedničky proto je sme viděli že ten signál je reálny

to znamená řeknem

no tak prostě c mínus jedna bude to sami ale bude to mít

opačný argument ale není náhodou už někde spočítat null

zkuste se podívali si u sto je náhodou někde není

co je minus ledničku

na patnáct vzorku přesně tak a je to tak právně

jako a tam být nebo

je to dobře že se tam tace minus jednička objevila nebo

je to nějak a magie

tak uvědomíme si

že kdyby jsme vopravdu počítali n diskrétní fourierovu transformaci ale diskrétní fourierovu řadu

tak to budou ty samý čísla akorát celý tento balík vezmu

a tadleto začnou o malovat vedle sebe a ještě jednou vedle sebe

a ještě tam l dozadu vedle sebe to znamená že

to sou mám tady těsně po to vzorkovací frekvencí

tak by set přitom o malovává ní

objevilo

objevilo hnedka pod nulou to znamená tady bych našel ven koeficient se mínus jedna

velikost je správná

argument je taky správnej takže

tohleto na bude fungovat krásně

tak dnes je řekli no tak super to funguje

přesně počíta

s tohoto nebezpečného pocitu se vice vyléčíme hned v následujícím příkladů

že věci fungují

a teče vezmem signál se spojitým časem deset krát kosinus

sto padesát pít e

jo ale no rozdíl před chvilkou se měl vzorkovací terra tu kruhovou frekvenci stopětadvacet p

t taktika se zmus to padesát

zase vzorkovaný na jednom kilohertzu

a zase k budu chtít počítat koeficienty féře pomoci diskrétní fourierovy transformace

teče ale prostě ten kdo mi to zadává take lišák a

dal mi to opravdu jako neznámy signál

no dostanu prostě

balík vzorku dělej si s tím co chceš

a neřekl my

jakou

to má periodu n a mě bych to z jistě

no tak já řeknu veky když to fungovalo minulé tak

to zafunguje i teďka to znamená zvolím si periodu šestnáct nebo vzore zvolím si šestnáct

vzorku

a uvidime to bude fungovat

když toto udělám

tak zjistím

že

to tak docela nevychází že tady jsem viděl prostě čísti koeficient c jedna

pak samé nuly r byla c mínus jednička pak samé nuly

tady vidím že je tomu jinak jak to

co se stalo

tak já si dečka musím uvědomit

že

m o vlastně tu teoretickou hodnotu

před tím to bylo tak že jsem se opravdu naprosto přesně trefil

že

frekvence tady tohohle signálu sto dvacet pět p

přesně a ležel na nějakém násobku

té základní frekvence v jedna lomeno

nebo dvě pí lomeno n

a to přesně na jedno násobku jo že dvě pí

lomeno

šestnácti

kdo to dokáže spočítat prosím a kolik i dvě pí lomeno šestná

jedno pí děleno osmi takže nula celá sto dvacet pět p jo

no a když spočítáte sto dvacet pět p a podělíte to po normujeme toho vzorkovací

frekvencí

tak jsme null

nula celá stroze pět p to znamená super a jsem ze stoupl frekvenci naprosto přesně

trefil to je do toho prvního čudlíku

teď mám ovšem

zase

frekvence odskákala n

po nula celá sto dvacet pět p

ale ta základní kruhová frekvence mého signálu žně někde jinde na teoreticky leží tady

to že tady by měla být

čára tady my vlastně měl b ste můj správný koeficient

jenomže na tomle místě nemám žádny vzorek bohužel

takže se projevilo

toho čas metaly přestřelkou povídali projevily se tam nějaké kardinální scene i a ty kardinální

syny mě pěkně tak dle

ty vzorky rozhodil i

proti

tak těch sousedních vzorku a pěkně midwest let cele to spektrum zaneřádí lo

tak a teďka mě můžete říc

a jako jak to že tady ty kardinální syny

jako se nám zapojili a spektrum zač uměli

a to jako to

tady s té mohou vypnout nebo

jak to že tady je to takhle pěkně číst í

s tady s tam

já jsem řekl že tomle tam případě

přišli zlé kardinální syny

a ty správné koeficienty nám rozházeli i dolní několika vzorků vedle sebe to znamená to

co mělo vypadat jako tak dle ostrá čára tak se rozpis zlo

pro po půlce spektra

tady se ta nestal jak to

to spektru stejnost nerozšířilo

ale tady se nám to totiž trefilo takovým úžasným způsobem tady samozřejmě ty kardinální syny

fungovaly taky

ale

díky tomu že jsem měl naprosto přesný poměr

mezi

nezi periodou a vzorkovací periodu

tak se ten kardiální syn tabule pěkně po trefovala o

přímo

do těch vzorku to znamená že jsem tam ten svým čí k tak jako posledním

dalším příkladě neviděl

jo ale

mimochodem stačilo by si to výsledné spektrum vyplotit z více vzorky

učí to taji na vás začne

točna vypadal všem vidíte

tak poďme na další příklad

signál se spojitým časem je

periodický sled obdélníkových impulzu

takhle vypadá jeho jedna perioda

poznamená

má nadefinoval jsem jako čtyři a šedesát sekund

je tam dýl ty s je kolo neboli střída jedna ku jedné

tak čítka šiška to impulzů bude třicet dva milisekund

a pokouším se

spočítat

spektrum takového signálu nemocí d tečka

no když si to uděláte

proto vidíte že to není tak

špatné protože

tady vlastně dostavám

to hodnoty které opravdu odpovídají

minimální musí nulu a tak dále

samozřejmě

bych je měl brát

jenom

do poloviny vzorkovací frekvence

a tady už ne

no takže samozřejmě tam budou nepřesnosti když byste se podívali

zblízka

na tyhlety hodnoty tak nebudou tak docela v nule

tak je k tomu mělo být

tom analogovém originále

ale dá se to pomocí diskrétní fourierovy transformace řeší ta

tak no se teď podívat na další věc a to je počítání

fourierovy transformace pomocí do foto

tak zase takovém ale u páčko

když se počítala fourierova transformace

tak se řeklo že se integruje od mínus nekonečna do nekonečna

signál krát e na mínus j omega to je podle času

a teď tomu do chtít spočítat pomocí d f t

věc první

tady s těma ji nekonečny

o nebude fungovat samozřejmě ho

d f téčko že r

no vzorků třeba tisíc dvacet čtyři no dva tisíce čtyrycet osum nebo co si nastavíte

takže žádná nekonečna nepůjdou to znamená budu si určitě muset ten signál nějakým způsobem omezit

nejlepší bude

když ten signál bude

začínat v nule

tady bude nějaký a bude končit

nějakém čase třeba t jedna

s takovým ale signály budu moci pracovat protože je dokážu pokrýt konečným počtem z

co když to budou mít jako prošků horší

jí by ten signál třeba

začínal

někde jinde pak chvilku trvala pak šel za sedum nuly tady

tím letím pude pracovat nemo s tím nepude pracovat

chtěl zpozdím akorat přesně tak ja si jo zpozdím

dostanou ho do toho použitelného intervalu vod nuly

do té jedna

a je

to že si ho zpozdím domě jako projde jenom tak bude to udávat dobrý výsledky

nebo

to budu muset ně

d jak se vám i mění spektrum

dobrý argumenty se samozřejmě když budu zpožďovacích null tak se s plácnul minule pojedou zkop

cela a dokažme nějak spravit

já sněženek cache

ty tyká vážně když kdy když ty argumenty které potom spočítám pomoci d f to

je pojedou s kopce

tak dokáži to nějak zkorigovat

abych neměl spektrum bylo posunutý ho signálu ale toho původního signálu

něčím ji násobím tak abych vlastně vyrovnal náklon toho spektra asi tam bude nějaký na

plus

je omega

ta u nemohli se takový o

za chylku vidíme mám to v jednom příkladu no tak že dokážeme to spravit

tetě ten a předpokládejme že

máme ten signál

uzavřený v nějakém intervalu vod nuly do té jedna

tenleten interval samozřejmě pokryjeme

n vzorky

a dáme se do upravování

ho definičního dvorce

v a zjistíme že nám to docela půjde

že

samozřejmě

nebudou moci pracovat s libovolnou frekvencí

ale

budou muset mít vzorkovací frekvenci lomeno n

násobenou

indexem k a

začnou vyměňovat věci i tom integrálu to znamená integrál převedu na nějakou sumu

proužků

které vždycky začínají x n t

n t násobku vzorkovací periody

zase udělám si pár úprav

a přídu na tento finálním vzorec

takže

vítězoslavně

zasednou a napíšu

že hodnoty fourierovy transformace

pro tyto určite

frekvence

jsou hodnoty je spočítané v pomocí diskrétní pomoci d f téčka

jenom bude stačit když je vynásobím vzorkovací periodu

já to už zase skládám ty věci do tašky a už mám ty sliny na

jazyku

tak pět se musí říct ale

ale

platit o zase jenom pro

indexy

které jsou

do poloviny vzorkovací frekvence

a samozřejmě musí být splněn vzorkovací teorém

jinými slovy že maximální frekvence obsažená ve spektru signálu

musí být menší nešpor vina konci

a k tady nám nastával problém protože my víme že ú některých signálu prostě ten

vzorkovací teorém není

a nemůže být splněny

no například o obdélník po který mime že má spektrum který de až do nekonečna

a když to terra vím tak aspoň i si můžu pomoci takže použiju že použiju

vzorkovací frekvenci která bude co nejvyšší

aby když už ten a vtom spektru dojde k aliasingu

aby byl aspoň co nejmenší je by mě tolik nebolel

víme se tady tohle všechno ukázat

příkladě

a ještě stone ukážem na příkladě ještě vy mě zajímala

jedno věc

stavte si že máte

signál

den signál vám pokrývala dejme tomu

besed vzorku

a máte sta disk tohoto signálu

spočítat spektrum a math ho nebo prezentovat

třás diplom chce

kolik bude mi to spektrům bodů vzorku

deset

pošli ste si někdy udělat nějakým graf

který bude mít na iksové ose deset bodů

je to pěkny

většinou ta moc pěkný není jo za chvilku vidíme tak

co když ten graf teďka budete chtít zkrášlit

že budete chtít z deseti budou dělat sto bodu

abyste prostě nesu ji výsledek lip prodali

jasně můžete říct tak použiju nějakou interpolaci n dam nějaký splá jen nebo lineární nebo

je co do vo to protáhnu rukou taghle pak to na scan ve to vypadá

jako výsledek

a volá bude vydělá takto jedna možnost

poradim vám eště jinou možnost tech tady tohle udělat přímo na úrovni diskrétním fourierovy transformace

teda chceme zvýšit počet bodů z deseti chtěla na tisíc dvacet čtyři

n a to půjdem a použit jenom d f tečku

co jde bysme takhle zvýšily

počet bodů prostě z deseti nadi c dvacet čtyři

drobný problém je vtom že nikdo mi nedá víc než deset vzorků té prostě veškerá

informace co mám

já přesto chci pracovat s tisíci dvaceti štyři map vzorkama tak jsou mysli co vrazim

do těho zbytku

nuly

no do plním

na tisíc zase štyři nacpu tom nuly natočím klikou vypadne diskrétní modelová transformace

a kupodivu tady ta diskrétní fourierova transformace pak bude mít tisíc dvacet čtyři hodnot které

budou krásně vy interpolované to znamená dostanete nádherný obraze

tomudle se říká z zero p dingu

do pojedl to je t do francie na diplomku tak bůh že se jeho nepra

jako na jatkách stínání dobyt k takový zajímavých svou

tak a teďka patky pokud sme ten signál násilně posunuli ji do intervalu nula čtem

mínus jedna

tak opak musíme zkorigovat ale to se za chvilku ukáže

tak

poďme mrknout například

bude mít obdélníkovým puls ten co sme viděli před chvilkou

to znamená šířka

přice dva milisekund vzorkovaný na jednom kile

víme samozřejmě že jeho spektrální teoretická funkce je na ná

kardinálnímu scene

a budeme chtít spočítat jeho spektrum pomocí diskrétní fourierovy transformace

tak

krok první

že se podívám a vidím tady záporné časy

pod nečas je sou špatné že jsem říkal že bych chtěla mít

ten signál usazený vod nuly

nějakého tralka prování ale rozhodně bych nechtěl aby seděl záporných čase

není problém

signál chitin u

zpozdím ho

takže mu dám nějaké ta u koliby ste doporučovali vo kolik o zpozdit

já jsem tady tuším udělal ta u

přice dva milisekund že vlastně o celé trvání toho obdélníkového impulzu se o posunul

a tím plánem sem dostal od šestnácti milisekund byly nějakých

poli kde šestnáct plus třicet dva ty moc složitý nula celá štyrycet osum

takže jsem na něho aplikoval

ta u

přece dva

ne viset

to jsem ho navzorkoval

dostal se kolik asi šedesát čtyři vzorků

s těmi šedesáti štyřmi vzorky jsem provedl

diskrétních fourierovu transformaci

a dostal jsem to je takovýhle obrázek

samozřejmě

neukazuju všech šedesát čtyři vodu

vzal sem si z nich je nám přice dva od začátku do

do poloviny vzorkovací frekvence

komu se ten obrázek líbí

mně ne

jo suma ty hrana ty

škaredy nikdo vám za to nezaplatí

fáze

o tom rači jani nemluvit

takže tečna stupuje

na řadu doplňování nulami

já říkáme nechci škaredý obrázek který třice dva bodu chci hezčí kterých bude mít nám

víc

pomoci doplňování nul klidně můžem

měl podivejte co se stane

když vezmu těch šedesát čtyři vzorků a doplním toho pěti sty dvanácti mínus šedesáti štyřmi

nulami

tady dostanu něco podobného svorkového

a když potom s tohoto

počítam

diskrétní fourierovu transformaci

tak

učte signál

je mnohem hezčí jel opravdu vypadá jako pěkný kardinální c

takže zase týče modulů

tady je to oukej i ty už dokážete klidně prodat

sono argument tam a líbí nebo nelíbí

ty argumenty bohužel odpovídají tomu zpožděné mu

signálů ne tomu originálnímu který byl u symetrický okolo nuly ale tomu zpožděné mu ze

kterého sem mohl počítat diskrétní fourierovu transformace

takže

s tím argumentem budu muset tečně co vyrobit

a to se dá jednoduše

protože jsme tady měli někde

předpis

že když jsem ten signál

posunul

tak stačí když ty výsledné koeficienty potom vynásobím tady

těmahle faktory jsi nemusíte pamatovat tam

najdete třeba

sledech nebo

po si to odvodíte dokonce

a když tady to ta provedeme

tak dostaneme následující výsledek moduly jsou pořád oukej

argumenty

tak atika mě řekněte jestli u sme spokojeni nebo nejsme

co jsou těch a co jsou těch argumentů stalo

to dobře no mu to není dobře

co sme očekávali teoreticky

z neočekávali k teoreticky že

modulech bude kardinální sinus ten tam i je ten super r

argumentech jsme očekávali taji tohle

nula p vola

vola

nula

a matlab nám spočítal dej

tohle

je to vůbec špatně taji ten výsledek ne mu neni

jsme si říkali že k když budeme chtít kladný ho čísla

udělat záporný

takže mu strčíme argument pokuď plus pijí a nebo mínus pí a bod sme zde

je řekli že z hlediska estetických kritérií

budeme pro kladný frekvence používat plus pijí

a pro záporný mínus pí aby to bylo hezky

matlat

kašle je na naše estetická kritéria

a sype nám výsledek prostě tak jak mu to víde

ale to že se tady střídají hodnoty plus pí z mínus pí neznamenáš to je

špatně

to je prostě furt dobře

akorát sme matlab rexi na naučili produkovat krásný výstup ale jenom správný výstup

jo takže todleto

co sme spočítali jak je dobře a teďka na vás k dyby z vám do

nelíbilo jako zitu tužku

a ta je to za škrtat

data jenom ty kladné hodnoty p případně sivý případně datových i tři a v matlabu

si napsat nějakou funkci která hodnoty minus p převrací

nahoru

tak

a to je konec povídání o diskrétní fourierovy transformaci

za kterých ne na stála přestávka

ale nastává ega

numerické cvičení

ták

poďme do něj

začátek je v jednoduchý japak začnem při tu hovat

příklad první

vrátíme se do

systému se spojitým časem

mám

kosinusovku mám zesilovač

a k tam se

jaký signál s toho zesilovače poleze ven

takže toto je na

do to je na vstupu

a k ho

zesilovače

a vím že

na frekvenci osumdesát herců

zesiluje desetkrát a zpožďuje fázi o nula celá pět pijí

no takže na

osmdesáti r cích

co silní desetkrát paliv zpožďuje modula trvá pět p

když setting herec s počítače počtem na radiány za sekundu

to je dvě pí krát osmdesát znamená stošedesát p

tak zjistíme že čirou náhodou

jsem právě s jsem vám zadal

hodnotu

frekvenční charakteristiky toho zesilovače

právě pro tuhle tu frekvenci

totiž je to jednoduché

protože

vím že

to šedesát pijí

jak mám zapsat jedním číslem zesílení deset fázi zpožďuje vo minut nula celá typ p

jedním komplexním číslem protože asi chci zapsat že to je hodnota

komplexní kmitočtové charakteristiky právě pro tuhle tu f

level ty tam nepleť to omegu

protože omega užší je

napsaná tady jaksi vopravdu jenom číslo

deset na a kdy ženam zpoždění fáze tak

mínus

linus je nula celá pět pí jo

takže takhle vypadá hodnota komplexní kmitočtové charakteristiky na té dané frekvenci

a když mi do toho přijde kosinusovka

tak pravidlo je

že

jej velikost násobím absolutní hodnotou

jej počáteční fázi měním o

argument a to je celý co musím udělat

lišta výstupní kosinusovka y to je

bude

desetkrát čtyrycet pět je to strašně těžké i příklade pozor

to šedes p t

plus nula celá čtyři p í

minus nula celá pět p

což se rovná a opět ukrutně složitý výpočet

čtyry sta padesát kosinus

to šedesát pít

mínus nula celá jedna p

o to

tak poďme dál

mám zjistit frekvenční charakteristiku takovouhle takového vole systému

se spojitým časem

ale ne jen tak ne d jakou ale na určite

no určité frekvenci

tak předpokládám že

ne to se tuto ještěd navrátit to dobry

tak jo

buďme si to celé odvodit

časy myslím že opakování nezaškodí stub označen jako x try výstup jako y to je

tady by asi bylo dobrý

si den obvod popsat i

pomoci smyčkové ho proudu

jako

x t

mínus

y to je lomeno rolo

ale

ten samej proud můžu taky napsat

jako

co je krát

to výstupní napětí dej y to je podle časů

to znamená že

dostanu moc pěknou diferenciální rovnici

x té e

se rovná

hertze

krát

to je y to je

podle dete

klus

y t

tak

ještěd by bylo docela dobrý ji

tyto hodnotu r co je nějak označit vědním písmen k

třeba jako ta u jeho to je časová konstanta tak zvané

takže

řeknu že ta není

r c ale že to je tam

ták a pod medika tu rovnici strčit do laplaceově transformace

a plastová transformace

našem pojetí je poměrně jednoduchá protože

kde uvidíme signál tak opisuje

akorát měníme

velikost písma a mým e proměnnou

takže k x t s

kde uvidíme konstantu tak opisuje

a kde vidíme derivaci podle času tak se násobí proměnnou s takže

y s

tak a je s

klus

y s

ták a ty čili kam se snažíme dojí snažime se dojít bezva n přenosové funkci

zní budeme potom dolovat

meta čtu charakteristiku

a ta je docela standardně definována jako výstup lomeno

do poďme upravit

na to je to po doby

vidíme že

když se tady uděláme zlomkovou čáru

tak můžem x resp přesunout sem

a to co s sedí vedle y s takže zase dostane dokáže dokážou dostat no

druhou stranu

takže ho s o

co šije

y s lomeno x

rovnala se

jedna lomeno

ta u

plus jedna

no a

v ještě bychom si to mohli zkusit

upravit tak

aby nahoře byly

na byly nějaké nuly nebo nulové vody a dole vyjmenovali telling nějaké póly

a k povězte mi dokážu najít nulové body to se někde

kde je nějaké hodnoty esky de my ten čitatel byl

rovný nule

asi nepudu nepude to takže opíšeme čitatele

a je to nepude

menova televize na mohli trochu upravit

null

ta u krát t s

plus

jedno lomeno právu

a ty kromě co ste říze sim by tam někde byl nějaký pól

neboli bot

pro který

jmenovatel

bude rovný nule

o ten by tam byl o pokud někdo nevidí

přímo tak stačí když si

tuto závorku položit rovnou nule to že zkusíme lomeno trau

se rovná nula

a hnedka stavo jasně vypadne že s se rovná

mínus jedna lomeno ta u

takže

toto celé si můžeme napsat takovým trošku divokým zápisem

jako

jedna lomeno ta u

krát jednal

mínus

jedna lomeno tell

rád vím že je to divný hale

za chvilku příjme příde a toho proč sem to děla

si totiž můžu teče

namalovat

rovinu s

můžu si tam ten

paul

namalovat s toto je hodnota mínus

jedno lomeno kávu

víte co ho možná že my teď nebylo od věci

při tam už dat numerické hodnoty to znamená

já mám jedem kilo lom jeden mikrofarad

takže

tou se rovna

hertze rovnala tisíc

krát

jedna krát deset na mínus šestou

to je kolik prosím o

jedna tisícina n svým

no cel a nula jedna

znamená že hodnota v mínus jedna lomeno ta u

bude tisíc

no dram mínus tisíc

tyč se ještě podívám pro který že toho prostoru že to frekvenci mám vlastně mám

vlastně počítat

pro jedem kiloherc dobry

tak když budeme chtít počítat tu frekvenční charakteristiku

tak si musíme uvědomit že

této rovnici

po škrtáme všechny hodnoty s a nahradíme je za je omega o protože

platí že když chci í vydolovat frekvenční charakteristiku

přenosové funkce a s

tak matematicky z do značí takže

s nahradíme za je omega

ale

mentu ukážu prakticky prostě

přeškrtaná všechny hodnoty s

a nahradíme je

za je krát hledaná kruhová frekvence toto kde prýč

na hradním to za

jeho mac a

vy mě teď řekněte když

omyj když frekvence k pro kterou mám hledat je tisíc hertzů

kolik je kde je bot j omega

omega se spočítá frekvence jako násobení dvou dvěma pí

takže mám dvě pí krát tisíc

tedy asi nějakých šest a něco u krát tisíc šest celých

šest tisíc tři sta

a navíc to má protože je to je

tak to má ležet na imaginárního se takže they toto je bot

je dva tisíce

že je p krátký

tady někde vědet r

poďme si

napsat rovnou že to je

hodnot l zhruba je

šesti c jestě

tak a teče

si prosím vás poďme

říct že

tahle to závorka ve jmenovateli

znamená je omega mínus

mínus jedna lomeno trávu

dokáže si to někdo graficky přestavit tady k tomu obrázku

omlouvám že jsem to smazal

ale ve jmenovateli mamě omega a mínus jedna lomeno tell

teď dochází k tomu proč sem to vlastně zapisoval takhle strašně složitě

že ten

ten rozdíl

já si můžu vlastně říct že je vektor který vychází z hodnoty

mínus jedna lomeno tahu

a končí

val

hodnotě

je omega

tahle ten vektor

takže

když potom přicházím k tomu i jak terra vlastně spočítám

tu hodnotu kmitočtové charakteristiky tak to bude následovně

h je

na nich více t

absolutní hodnotě bude

jedna lomeno nula celá nula jedna

taji tahleta konstanta jo tam nesmím zapomenou

krát jedna

mně leno

délka

černého

victoru

to bude asi kolik

kolik bude délka vektoru

který ji

víde hodnoty mínus tísíc

do je šest tisíc dvě stě

pytágorova věta lže

do to dokáže spočítat

tato zkusím z hlavy jo

šest tisíc dvě stě

jem mnohem víc než tisíc

tak

šest a půl tisíce

do se nudí tečka jak to spočítejte kalkulech se nevozvali

kolik

šest tisíc zjistil jsem s will

no tak dobře

ale co se to jsou to sto jsem to ste počítal šest tisíc dvě stě

počitá se šesti c dvě stě nebo přesně dvě pí zaznamenal

a roste se dostal přímo do hodnoty která vodpovídá p best rodící záni sto jedno

prostě něco jako šest tisíc pět set

rovná se

ve rub a

tisíc

krát jedna lomeno

šest tisíc pět set

a té teda dalšího podobné počítání kolik je tisíc dělena šest tisíc pět set

tak kdyby to byla jedna lomeno pěti

tak je to nula celá dvě

a vona je to ještě děla trošku jí s

takže by tak nula celá

sedum null

patnást dobry tak nula celá patnáct l

výsledek mého

prasácky o počítání a vaši pomoci

ták a teď je jak to bude s uhlem prosím

jaký bude argument toho h je dva tisíce p

do mi řekne jak to bude úhlem

když vezmete v úvahou že tady jako reálná konstanta ta nemá žádnej úhel

tady jednička tak ten m a taky žádnej úhel

a ve jmenovateli je tady ten černej vektor

já si jo tam ani posouvat nebudou já bych prostě změřil dej tenleten úhel

kolik to asi bude

o pozor

vy vyto mělo být víš tvrd tak to bude v pětaštyrycet stupně moc to jsem

to řeknu tají sestupně nepoužívají

pětačtyřicet stupně nebylo takhle kdyby tato strana byla stejná jako ta druhá stran

já bych řek že skoro

akce to je té hodnotu skoro pí půl

skóre aby půlek o

a teďka pozor ten u je ten vektory je ale ve jmenovateli takže výsledek bude

cell

když je vektor neboli komplexní číslo ve jmenovateli

tak pokud má a uhel skoro pí půl tak ve jmenovateli má mínus koro pí

půl

mínus

skoro

p půl

ták erica se poďme podívat dá doufám seznam není někde měl referenční výsledky

k tady sou rozdíl

aha to je zase m to neumí číst teple se soubory

sou totiž lindou si

a s do něho zastaly času vytištěné pole

tím že jsem u o co za někde pozbyl

no o prostě kdybychom si to tady jí je kdybychom si to zkontrolovali

s tím skutečným průběhem

tak zjistíte že toho pravdu žnou pravdu sedí

doporučoval bych vám klidně si to zkuste matlabu je na to funkce frekvenci s

něho funkci frekvenci s

nakrmíte koeficienty čitatele koeficienty jmenovatele a u na vám dál a přímo frekvenční charakteristiku najdete

si kde je tam kruhová frekvence dva tisíce p

odečtete

skutečně co nemá nám

bohužel monteji růst

různého vo jediny left

průběh ji nemá nebudeme se tím zdržovat

pojeďme dál jo takže máme vyřešený příklad druhý

hodnotu frekvenční charakteristiky na nějaké frekvenci

teď

příklad třetí

vzorkování

kosinusovka

na frekvenci jeden kiloherc

je dána jako desetkrát kos tisíce pít e

je vzorkován a na osmi tisících hercích

tak tam se kdy padá spektrum původní kosinusovky

jak vypadá spektrum navzorkované kosinusovky

a pokud tou kosinusovku na vzorkovanou

rekonstruuj i ideální dolní propustí

jak bude vypadat

výsledné spektrum a výsledný signa

tak od m

jedno zkusit malovat

tak a aby to byla bez no to měl jednodušší

taktéž nebudeme blbnout přes kruhovými frekvencemi ale u dá mi tam normálně hercích takže tady

mám

jeden kiloherc

mínus jeden kiloherc

vypadá ve q spektrum kosinusovky na jednom kilohertzu

deset krátkou s

a tisíce p t

spektrum kosinusovky

dva koeficienty že jo jeden je tady

má hodnotu kolik

no hodnotu pět druhé je tady a hodnotu taky pět

teďka takovoule pěknou kosinusovku

na vzorku ji

na vzorkovací frekvenci osum tisíc herců

bude osm kilo ne

co sto vznikne

tak zapamatujem si že při vzorkování se bere původní spektrum

musí se vynásobit tuším hodnotou

jedna lomeno perioda neboli vzorkovací frekvencí

a rozkopíruje se na všechny násobky vzorkovací frekvence

takže tady jeho osum kiloherc ú

tady je mínus osum kilo herců další u jsem i tom nechcu kreslit

většina r i

většina rady

většina tady a tak dále

jejich velikost bude pětkrát

osm tisíc znamená čtyřicet tisíc

teď mám

signál rekonstruovat

ideální dolní propustí

s přenosem jedna lomeno osm tisíc

od mínus čtyři kilo hertz

kiloherc ú do čtyř kiloherc ú

takže

rekonstrukční dolní propust

která jede v odsud

od mínus ty skryl došky styl

bude mít hodnotu jedna lomeno

osum tisíc

co je výsledkem ta je to je rekonstrukce

to jasný protože tyto do u pryč tyto do u pryč zůstane tam jenom ta

základní kopě

a ještě navíc mi ty tady ta konstanta jedna lomena osum tisíc spraví

to je to štyryceti tisícovku

a dostávám zase perfektně úvodní

spektrum

takže odpověď je

výsledné spektrum vypadá naprosto stejně jako

to původní

a pokud sou stejná spekter a tak jsou naprosto se je stejné je signály takže

u toho led bych vezmu zardění mohl napsat že to bude zase signál deset kosinus

v a tisíce víte

smajlík

další bod zadání je

jak bude úloha vypadat

pokud se frekvence kosinusovky změní na čtrnáct set p radiánů za sekundu

pokud se změní na tisíc čtyři sta p radiánu zase ku

ta když jsme to začali počítat všechno hercích

tak tři to podm převést kolik m

čtrnáct tisíc p radiánů rose kongu

abysme měli umět n abych s toho byla frekvence v hercích

tak podělíme dvěma pí

a dostaneme sedum bylo herců přesně tak takže začnu ze signálem

který bude mít sedm kiloherc ú

a zase tam budou tyčky velikosti pět

a tento signál budu mít opět vzorkovat na osmi kiloherc cích

prosím vás bude to vpohodě nebo do n nebo

dostanu za uši novou bude něco zle

ti pozorní z vás už by měli říct nejse pokouší to dělat nějakou

špatnost protože

nebudu dělat žádný jen násilný trestný čin ale

pravě sem porušil

velkou acid horem ho prostě signál

zdaleka přelezl polovinou vzorkovací frekvence

a přesto se tady s tím přesto se to pokusím navzorkovat

takže jak to bude vypadat

bude to vypadat tak že tam bude

původní kopie spekter a

pak si schválně utrhnu abych vědět viděl

co to bude dělat i když to budú při těch přikládat

na jednotlivé frekvence násobky vzorkovací frekvence

takže

no jenomže to bych si chtělo totiž asi dobře namalovat

no když jsem to přiložil na mínus osum kiloherc u té dostávám

čára někde tady

a s tady

pokud bych šel na mínus šestnáct kilo herců

za kterou dostanu někde tady

když bych šel na plus osum kilo herců

tak tu čáru dost tedy

pokud bych šel ná plus šestnáct kiloherc u

dostanu to čáru někde zde

a najednou s hrůzou zjišťujeme že sme vlastně dostali úplně stejný spektrům jako při vzorkování

toho minulého signálů že

tohleto je taky velikost

čtyrycet

a příklad pokračuje naprosto stejně

zase mám rekonstruovat ideální dolní propustí

s přenosem jedna lomeno osm tisíc

odkud

tratil černou to styl ku

od mínus štyřky jo ty skill

tak to udělám

tohle se kill n tohle se kill ne

a zbyde my

opět

signál ve kterém budou pouze dvě hry

kde budou sedět

kde bude jich pozice prosím

na jednom kilohertzu ano mínus v jednom kiloherc

to že vidíme

a velikost bude samozřejmě

pět to znamená já jsem dostal opět signál

začínal jsem ze signálem

deset krát kosinus

čtrnáct

tisíc pít e

a po sekvenci vzorkování

rekonstrukce

jsem dostal deset krát kosinus

dva tisíce pít e

znamená něco

jsou se naprosto

nerovnal a

protože jsem porušil vzorkovací teorém

tak

dáme si teďka chvilku pauzu

a pak se podíváme na vo něco těžší příklady na

kruhovou konvoluci

do to foton a tak dál

tak poďme prosím pokračovat

dalším příkladě

máme za úkol or

nějakou kruhovou konvoluci je takto s nám půjde rychle

máme dva á

diskrétní signál e

ski

nula dva nula mínus jedna nula

které máme kruhově s konvolvovat

něco podobného zle před i

před síly viděli

tady už mám dokonce

to sole nějaké jiné signále je co to

si poďme to zadání předělat na moje signále do syn

zkusme s konvolvovat signál jedna dvě tři čtyři

a jedna mínus jedna mínus jedna

ta a tady mum chystané jako uplně super grafické demo

protože signál první je jedna dvě tři čtyři nebo ne takle

a teď pozor velká technologická inovace je průhledné kolečko

takže jedná jedna

mínus jedna

no a pokud mám kruhově konvoluováno tak jeden s těch signálu musím samozřejmě včas e

kruhově obrátit

takže něco podobného

a uč si můžu rovnou

můžu rovnou psat výsledek pro

co s tím k

od zoomovat

takže budeme psat výsledný signál

tahle bude nula jedna dvě tři

si one n

pro hodnotu nula

to bude kolik

jedna krát jedna

plus dva krát mínus jedna teda hromady mínus jedna

a mínus tři komín čtyři

a štyři je nula

pro čas jedna

po otočím tím obráceným signálem

jedna krát jedna plus dvě jsou tři

plus

mínus tři je nula

a tohle mi na mínus čtyři

tohle případě i

bude

tři plus dvě

mínus jedna mínus čtyři takže zase nula

anti mít krok

bude je

mínus jedno

a mínus dvě jsou mínus tři

s tímhletím se to vyruší je nula

tady budou po štyři

to že kruhová konvoluce

těchto dvou signálu

bude mít láda nula mínus čtyři mula plus čtyři

tak

mým dalším úkolem

zkusit si spočítat nějakou fourierovu transformaci z diskrétním časem

takže mám vypočíst fourierovu transformaci s diskrétním časem signálu x n

ale bojíme si prosím vzít n původního tedy ten nula dva nule

tohleto

takže mám signál který je

jedna dvě tři

je nula dva nula

a mám spočítat jeho do to foto

do to foto je dána jako

na jeho mi dal

srovná suma

mínus nekonečna do nekonečna

teoreticky

naštěstí to pro nás nebude tak složíte

x n

krát t

na mínus

omega n

tak tady ptám suma vypadal velmi ji

velmi náročně

ale my si uvědomíme že máme vlastně no dva vzorky

který jsou nenulový

a každý s těch vzorků si spustí svoji

komplexní exponenciálu u tohodle to bude na mínus je omega

jedna

protože to je vzorech kterej sedí na core na

na jedničce

auto druhý jo to bude na mínus je

omega dvě

a to bude celý

na takže výsledek pro ten na jednoduchoučký signál

jeho pravdu triviální došlo

takže dva krát e na mínus

omega n

plus

v a krát

t na mínus je

dvě

a mega n

samozřejmě kdyby jsme měli po ruce matlat nebo nějaký matematický slov tak po tam dáme

nějaký interval frekvenci a necháme si to vykreslit

no a ale na bych chtěl eště chylku pop potrápit

a vy by po vás někdo chvěla bychom si tady tohleto

udělali a nakreslili ručně

co myslíte že by tady s tím letím

člověk latter n a mínus je omega n

dva krát t no mínus je dvě omega

co by s tím mohlo jít

ho bit

loby to možná šlo převést na nějaké kosínů šel

ale

ale pak bych tam potřeboval

a n a plus je něco

plus na mínus i je po stejný něco

slavit a zařídit ne

budeme plně to zkusit de o poďme uměla takovou jakou fintu že řekneme

dvakrát

a teď bychom mohli vyzkoušet

to je mohli koncem napsaný té na mínus

jí je jeden a půl krát omega

a tady bude

na mínus celo

nebo na plus co

když sem tady dál je na mínus pardon eště na musí by den k ono

kdy že tady n a mínus jeden a půl krát omega n

a tady máme jen a mínus jeden krát omega n

tak to bude plus půl krát k omega že takhle

a u toho druhýho členu to bude co

mínus půl krát žil mínus

celá pět

omega m

co šedo co na fájn

protože najednou nám tady tahle té závorka začne dávat kosinus

a to kosinus čeho

jo by zapome zkusíme si vzpomenou že kosinus alfá se rovná na

je alfá plus na mínus je alfo

lomeno dvěma

takže co tomu de

jasně takže nula celá pět

omega n

a ještě bacha

ten kosinus to bude dvakrát jo protože když si tady tu dvojku přetáhla druhou stranu

tak je to dvě kosinus alfa lovná se rovná se je na plus e na

minus pro by mělo být dva k

takže a můžu

a můžu selb

rovná se

ježíš maria ale co tam dělaj ty n k a prosím vás řekl že ste

si toho nikdo n nevšímal ani a nezastřelil mě

jo já tady dva s tady pořád jako valím nějaké n a n

t nesmysl protože tady vtom to členu už byl za enko dosazená jednička

a tady tam byla nasazená dvojka takže vy kteří ste si tam ty n kapoty

v je napsali tak se je zase poctivě škrtni je t

tak jako já

ták

a tady samozřejmě tak ji nepatří z je

no takže můžeme psat výsledek

je to bude dvě

n a mínus je

jedna celá tyto mega

prosím

bylo by lepší s toho udělat čtverku žel

kdybych bych dělal štěrku

n a mínus jedna celá pět omega

krát

kosinus

nula celá pět omit a

ve sou závorky

n ne n tou že hotový

na a tečna si poďme tady tu hrůzu zkusi nakreslit

jo takže

samozřejmě modul

na jeho mega

absolutně hodnotě

tohleto je omega

samozřejmě argument

no a poďme na to teďka tak že kosinus nula celá pět omega

úplně nejvíc mě bude zajímat interval frekvencí

kterém je vlastně bude nejvíc co je pro mě úplně nejdůležitější

pod nuly no vzorkovací frekvence rozhledem k tomu že to jsou normo vy e normovaný

kruhový

normovaný kruhová frekvence

normovaný ji o kroužkovaný tak dělence

tak mě bude zajímat nejvíc interval od nuly do dvou pí veřejně

tak

kosinus

nula celá pět

omega

jak to bude vypadat

modulu ještě navíc

kdyby to byl kosinus omega

tak mi to udělá

udělá jednu periodu vod nuly do dvou pí

vzhledem k tomu že to je kosinus enom poolu omega

tak to bude taktu ve zpomalený

znamená udělat

od nuly do dvou piji mi vypadalo takhle

půlperioda

vypadá takhle

absolutní hodnota půlperiody vypadá k

takhle

a takhle

a dal by to vypadalo já k

samozřejmě

tat a to dat do

a to d a tebe prostě kopečky e krkonoše

tak jak je to teďka prosím vás s argumentem

aby to fungovalo

tak úkladných hodnot

to bude nula

už záporných hodnot samozřejmě by to mělo být p ho

a nebo taky mínus pí

ale

ještě je tady ten nepříjemnej i element

rušil a

na mínus jedna celá pět

omega

prostě jim

ho takže já bych vlastně měl si namalovat

funkci nám mínus jedna celá pět omega

bohužel milý to

která pro hodnotu pí

hodí

mínus jedna celá pět p

mínus jedna celá pět piji

a tady bude někde

plus jedna celá pět p

a s touhletou funkcí

tohle tou funkci budu muset to s ve

to naše

ten náš původní argument

posčítat

takže

ta funkce vypral

dloubal nějak takhle

tady mně to vily vylítne nahoru

hodnotu pí pojede to dal

tady top

půjde na hodnotu

mínus pí půl

leden dál a tak dál tady na to znamená toto je

toto je fourierova transformace s diskrétním časem

takového jednoduchého signálům nula dvě

poďme se podívat

necháme se to tady budeme to za chvilku potřebovat

jo ještě prosím vás jaká je velikost toho kopce je toho hlavního

čtyři jo

tak našim dalším úkolem je

spočítat

nebo říci teďka ten signál bude periodický s periodou štyři

a mám spočítat jeho diskrétní fourierovu řadu

takže signál nula dvě nula

jako kdyby byl periodickým spočítej jeho do for ze

potom n a to

do své z

prosím je

definována

jako

suma

ne se rovná vod nuly do n mínus jedné

krát t

vše by to tělo ta signál

n a mínus i je

dvě pí lomeno n krát

k n

bylo zase vypadá to strašně složit je

ale buďme zda začít dosazovat a najednou se nám to zjednoduš

jsou má pojede jenom pro štyri vzorky

od nuly do tří

x pen

krát t na mínus je dvě pí lomeno n je co

je pí lomeno štyřmi

p půl

typu

krát k a

krát n

tak a teďka vám doporučuju si utvořit tekou krásnou tabulku

kde

prvním sloupečku bude k o

potom si tam dáte hodnoty

n který muru nula jedna dvě tři a napravo synech to prosím vás trochu místem

že tam bude nějaká suma

tady budou hodnoty x ten

to jsou vzorky nula dva

dva no

a teď je začneme káčkem který je nula

a do té tabulky se budeme vyrábět a je ty faktory

n a je p půl krát k n

a tom prvním

řádkou to bude děsně složitý

protože k se rovná nula takže budou mít té na mínus je p u krát

nula

krát n

takže co mám vyplnit tady a tady

kolik je n a nultou

jednička furt jednička takže tady dovo je jedna

to znamená pokud mám násobit kiks n krát t na mínus je p půlka k

n jak prostě násobným vlastně vždycky hodnoty který jsou u sebe

a dostanu součtu hodnotu štyři

jo dva krát jedna plus dva krát jedna

se rovná štyři

hotovo

pro k srovná nula vyděláno jednoduchý

pro k jedničku

dostanu

n a mínus i je

i půl

krát jedna krát n

a to doporučuju na kreslicí tam štyři takový malý jednotkový kružnice

a my mě řekněte pro

nulu to znamená

pro té na je p půl

krát jedna krát nula

calling dostanu hodnotu

pro n se rovná nula

n a nultou je koly

jedna a je bacha jedna v jednotkové kružnici je tak takže hodnota jedna k

za dál c

tady dostávám

n a mínus je

černě ho tomu

n a mýmu si je

typu krát jedna kde to je

dole

nesněd l tady

posunul jsem se prostě tady

mínus pí půl

a dostal jsem se do hodnotným mínus je no

prost přestal se si buřt k

kterej cesta with vo čtvrt

čtvrt budíku

tak je na mínus i je

p půl krát dvě

kde sem

jeden krát minus typu v a krát mínus pí ku na tady

sem mínus jedničce

do tomu nevěří tak ať si spočítá kolik je e na mínus je p

další hodnota

ten a mínus je

p půl krát tři

jeden budík druhejm vodník třetímu dít

sem tady a to je kolik

sem v je

a najednou máte hodnoty který jsme potřebovali

jedna mínus je mínus jedna je

můžeme pro násobit se vzorkama signálu

všechno posčítám e a dostane na výsledek takže tady je to dvakrát mínus je

plus dva krát mínus jedna

a jinak sou tam nuly takže mi to a nezajímá takže mínus dvě

mínus dvě mínus dvě je

tak dalším řádku

k se rovná dvě

auru počítat ne

na mínus je

půl

krát dvě

prát n

kolik je mínus pí půl

rád v je

mínus pí takže o kolik se budu přetáčet na tom budíku na jednu na jednotkové

kružnici

každej i skok bude o mínus pí to znamená o půlku

jednotkové kružnice

tak poďme to vzít trochu rychlej

pro nulu

začnu tady

jedničce

tady jedu sem

mínus pí no mínus jedničky

tady jedu sem

a sem

zase do jedničky

tady jednu sem

a sem

a jsem zase mínus jedničce

když to pronásobíme ze signálem tak dvakrát mínus jedna plus na krát jedna

takže dostalo mlýnů

a konečně poslední tam to voleny větši

legenda taky

n a mínus je

půl

krát tři krát n

takže na k okolí k se budu posouvat na budíku

mínus tři by bull co to znamenal

takže opia ještě v oku s takže vlastně vo tři štvrtiny budíku

se budou se budu posouvat

tak se poďme podívali to dopadne pro n se rovná nula to je vždycky stejny

tam sem v jedničce

pro

mínus tři pí půl udělám můrou

dojička

pro dva krát mínus tři pí půl udělám borovou

broum

ocitá se v mínus jedničce

a pro tři krát mínus tři pí půl udělám v row

drove

broum

a ocitnu se tady

v mínus ježku

jak je výsledek

dvakrát i je

mínus dvě

takže mínus dvě plus dvě je

tak a teďka bych vás těl poprosit

a my sme se podívali zpátky do toho výsledku co sme dostali fourierovou transformací z

diskrétním časem

a mrkli se na štyři takové důležité frekvence

ona nulu

čtvrtinou vzorkovací frekvence polovinou vzorkovací frekvence a tři štvrtiny vzorkovací frekvence

jestli tam náhodou nenajdeme

nějaký známý čísla

tak

pro frekvenci nula nalézám hodnotu štyři

podívejte se cenam vyšla com nultý koeficient that teďka čtverka

pro

polovin o

nebo pro čtvrtin u vzorkovací frekvence

pardon

dostávám

nějakou hodnotu

nájem zhruba tři

za kým úhlem

mohl

tečka buksu že ale když tady tohleto je mínus eden a půl p

tak todleto vy měli být mínus tři štvrtiny p

kam ukazuje úhel mínus tři štvrtiny p

jsem k a

takže mám číslo který je který je tady a který má modul zhruba tři

a takže

mínus

asi tak dvojka

mínus asi tak dvojka je

a proto se podívali k vyšel koeficient diskrétní fourierovy rady elle

mínus dva mínus dva je zajímavý že

ták další hodnota pro polovinu vzorkovací frekvence

nula

vidím nulu u

dobry

a konečně poslední hodnota pro při štvrtiny vzorkovací frekvence

vidím

zase tu samou hodnotou tady vokolo třech

tady toto no bude docela peklo jestli ta je tohle se mně podaří odečíst

a l mám tady hodnotu mínus pí půl

a k tomu bych ještě měl přidat mínus

tři čtvrtiny pí

takže

mínus pí půl

a minus tři štvrtiny p

tak mě to dává buď mínus pět čtvrtin p

a nebo dyž to řek vezmu v druhé strany tak

při štvrtiny p jo poďme zita namalovat

ale

mínus pí půl je tady

mínus tři štvrtiny p by mě hodilo sem

takže bych měl být já bych mít někde tady

to znamená měl bych dostat

hruba

mínus dvojku

plus dvě protože to komplexní číslo že zde

a podívejme na to

mínus dvě plus dva je

takže docházíme kov docela zajímavé mu závěru že pokud si spočítáme

kdy s fourierovu transformaci s diskrétním časem

a pak si uděláte do žil

ta koeficienty toho dotvořil vlastně vzorkují

funkci

která dosud byl definovaná pro všechny krovy frekvence

tak

další příklad

do se to

vypočtěte de f t signálu x n

tak ten příklad sedmi ji mám ráta protože ta neopravdu rychle hotový

my totiž víme že koeficienty

diskrétní fourierovy transformace

jsou naprosto ta stejný ty stejný jako koeficienty diskrétní fourierovy řady

takže je to zase štyři mínus dvě minus dva je nula mínus dva plus dva

je othello super příklad

tak a ten poslední t takový prsou měla k

zase d f téčko máme

signál o

délce osum vzorků

v těch

který je nějaká kosinusovka

a máme spočítat její

diskrétní fourierovu transformaci

tak a já vám ten signál

dám a hned si připravíme nekou pěknou tabulku

se rovná nula jedna dvě tři

čtyři jet

šest

sedum

tady bude počítat pro koeficienty k to

a na že se to dat

na za chvilku přes ten uplně mluvit o bude s

ta jak

poďme se udělat malou přípravu

budeme počítat koeficienty x k

se rovná ty touž je tam dejme reálné hodnoty takže bot

nuly

do sedmi

krát ten a mínus i je

dvě pí lomeno

osmi

krátká n

což bude znamená stavy tak suma

krát t na

mínus í je

pijí

čtvrt

krát

k jo takže víme že základní pootočení na tom budič ku

bude o mínus pí čtvrt a pak duše do bude jenom násobit

vzorky toho signálu mám dám abyste je nemuseli počítat

takže bude to nula

mínus tři a půl u

mínus pět

mínus tři a půl u

nula

tři a půl

pět

tři a půl

a dáme se do práce

jaký očekáváte

koeficient

do filtr

pro k se rovna nula tady u toho signálu

ne svěží

já dávám navazovat neslyším ale

tak si

jedna n

má někdo nějaký jiný návrh mimo

čeká v a někdo něco jiného

prosím

proč

zkuste trošku jo myslet

co čemu odpovídá nultý koeficient se mu nultá frekvence každé možné fourierovy transformace

pozor víte celoru otázku beru zpět stahuji o poďme sto spočítat l

pro nultý koeficient

mám počítat faktor

na mínus j pí čtvrt

krát nula

krát n

kolik je p na nultou krát jakýkoliv m

jedná takže tiff chtěli sou tady jedna všetko jedna všecko jedna

když to ponásobím se vzorkama sečtu calling dostávám

nula

i to překvapující jenom o ne

není měl jsem kosinusovku měl jsem í přesně jednu periodu a kosinusovka prosím

nemá žádnou stejnosměrnou složku jo když u správně uříznete

tak poďme na další vzorek

no bude zajímavější

na mínus je pí čtvrt

krát jedna krát n

tak a nekreslím že tam osum brambor o

brambora jedna začíná na mínus j pí čtvrt krát nula

a jsem tady

a pak se na tom budíku budu posouvat vždycky o pí čtvrt

to znamená dostávám terry tyto hodnoty

kdybychom to chtěli

přesně

vyjádřit

tak tady to bude

jednička von tam i tady to jasný

tady to bude

jedna lomeno odmocnina ze dvou

mínus je

jedna lomeno odmocnina ze dvou

ale to by z lze prosím vás upsali k smrti

no takže prosím vás hodnotu

jedna lomeno odmocnina ze dvou

po dete mi nějaký písmenko

a nějaký normální funěla nebo štětek a neberu

řadu jako debil ní koeficient l a takže

tady jsi za prosím vás označíme

jako

jak od del

mínus

je do

ten další je samozřejmě mínus je

todleto bude mínus do

mínus je byl

tohle to bude samozřejmě mínus jednička

tohle to je mínus byl

plus je l

tohleto je plus i jedničko

a tohleto je do plus

tak teka nás čeká velice příjemná práce

s tím aby jsme to vynásobil i

a všechno se že ty

a tato příjemná práce

bude pro tuto část posluchárny a prosím vás takže pánové vy sedejte do výpočtu koeficientů

pro k se rovná jedna jo je to na vás pro pardon pánové a dámu

z další části posluchárny

budeme dělat další koeficient

druhý

faktor na mínus i je

pí čtvrt

krát dvě krát ten

oku o jakou část v honičku se vůli teďka posouvat

opít pull správně možno tady jenou viděli že

takže pojedu z jedničky když jsem posouvat do p pull takto ji todleto je mínus

tohleto mínus jedna

tady bude

jel

tohleto je zase jedna

zase mínus i zase mínus jedna

a zase je

i to co bych znám všem pomohl tak to je nadělám smyslí čáry

tak a toto je úkol pro tu pro část posluchárně

z další částí se vydáme do třetího koeficientu

ve fit si a třetí

počítáme

na mínus je

tři pí

čtvrt

krát n

než na dvě tři čtyři pět šest

sedum osum brambor

posouvám se

o tři štvrtiny p

sou to na zvědavi si to

to trefím ale snad dělo

tady

jeho takže prosím pro tuto část posluchárny

ty faktory budou jedna

mínus debil mínus jede vy jo

deby jo

mínus de by byl

mínus jedná

debil plus jede byl

mínus i je

mýmu zde byl plus je nebyl of

tak víte se do to a prosím vás a

samozřejmě a pro tu poslední část posluchárny mám nachystaný koeficient číslo štyři který kupodivu voda

docela jednoduchý

protože počítám na mínus i je

čtyři p štve

čtyři pí lomeno štyřmi krát n

znamená budu násobit enkem hodnoty p

o kolik budu skákat

vždycky jenom mít mezi jedničkou a mínus jedničkou tak žili to bude ta mít uplně

pohodě

takže zase osm brambor

a vidite za kvalita brambor se

postupně zhoršuje

jedna mínus jedna

jedna

mínus jedna

jedna

mínus jedna

jedna

mínus jedna ta tato to bude u call pro tady tuto za něj část posluchárny

potřebuju počítat eště nějaký další koeficienty ještě mně zbývají tři pátý šestý sedmi

toto už to už by mohl bych zničím symetricky je

tak

ho vydejte

no labiny dne měla

tak je se o se vám můžu po hord poradě s tady teto skupině

tak se můžete vykašlat na ty hodnoty kde je mínus pět a plus pět jo

protože

mínus pět krát mínus je

vám dá vlastně

moment

ne n nemůžete tory dorůs pět ste sám

ták

dívejte já vás nebo napínat ledem k tomu že končí přednáška

tak ty hodnoty mám dám

kolik myslíte že víde ten koeficient x i jedné x jedna to je tenleten

když vezmete v úvahu

že vlastně analyzujeme kosinusovku která má přesně periodu kulík těch osum

osm vzorku

asi

asi by měl být nenulové že jo když nebo sinusovka

a možná že by to mělo být něco jako

něco jako

polovina amplitudy to je kosinusovky tedy dvě a půl

krát počet vzorku

krát osum takže a eště je tam někde na plantá ná počáteční fáze

takže nebudu napínat

tehle ten koeficienty je

dvacet je

jo ale spust zkuste tom opravdu dopočítat

aspoň i jednou životě si spočítat takovou netriviální diskrétním fourierovu transformaci k

co vy kolik mám i šla x dvojka

nula

rámě že tam jenom jedna kosinusovka tak vše tady musíme jednu a

kolik dyž šlo vám

tak nula právně

kolik vyšlo vám

tak

nula dobry

ták a

kdybysme teďka počítali dále kdybych built brut vám to samozřejmě můžeme to spočítat že ho

a nebo si to dopočítáme takže x pět

by mělo být komplexně sdružený

x trojkou

poznamená kolik

je oplatit a symetrie že koeficienty k jsou komplexně sdružený s koeficientama velký n mínus

no tak dyž trojka je nula tak tady to vlasy bude taky nula

x šestka

by měla být komplexně sdružen a

dvojkou kolik

a kynul a

a konečně x sedmička

by měla být komplexně sdružená s x i jedničkou

a tedy

mínus dvacet je přesně tak

ták

vážení nezkaz dva trochu delší děkuji vám a pokud budete chtít zábavu na škaredé podzimní

večery komorná rána

tak si dopočítejte všech osum koeficient a

děkuji za pozornost pěkny večer

Signály a systémy - přednáška 9.

2013

Jan "Honza" Černocký (Speech@FIT)